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- Fläche! Fläche! Das habe ich tausendmal gesagt! Eine Fläche ist keine Flasche!
- Bè, sicuramente una superficie non è una bottiglia, professor Klein. Ma... una bottiglia ha una superficie. E una superficie... può anche avere la forma di una bottiglia.
- Nein! Nein! Io l'ho chiamata Fläche, superficie. E ora tutti la chiamano Flasche, bottiglia. Warum!? Perché!? Wir müssen wissen! Wir werden wissen!
- Uhm, mi pare di aver già sentito quelle parole... Comunque deve ammettere, professor Klein, che c'è un po' di somiglianza tra "Fläche" e "Flasche". Se avesse usato il latino, come si faceva un centinaio di anni prima della sua pubblicazione, nessuno avrebbe confuso "superficies" con "ampulla".
- Voi Italiener! Sempre a tirare acqua al vostro mulino linguistico!
- Ma se siamo uno dei popoli più anglofili al mondo. Ad ogni modo, veda anche l'aspetto positivo, professor Klein. Senza quel malinteso non ci sarebbero stati tanti bei giochini.
- Che giochini!?
- Bè, ad esempio in California c'è qualcuno che produce delle bottiglie di Klein. Forse senza quell'equivoco tra "bottiglia" e "superficie" a nessuno sarebbe venuta in mente un'idea del genere.
- Ma quelle non sono delle vere superfici mie! Cioè di Klein! Insomma quelle. La mia superficie ha bisogno di quattro dimensioni! E, non avendo un interno e un esterno, non potrebbe contenere liquidi.
- Infatti quelle sono delle immersioni nello spazio tridimensionale. E pensi che quelle bottiglie arrivano dotate di istruzioni in cui è scritto che, siccome la bottiglia ha volume zero, la scatola sarebbe stata superflua, ma che al cliente viene comunque fornita gratuitamente una scatola tridimensionale in cui la bottiglia è stata inserita. Non lo trova divertente?
- Divertente! Sempre a pensare al divertimento voi. Chi vuole che compri una bottiglia difficile da riempire e ancora più difficile da svuotare?!

- Forse no, ma nemmeno bellezza. Quale ascoltatore vuoi che si accorga di una tale strutturazione del pezzo? Per accorgersene è necessaria un'attenta analisi della partitura.
- Però anche quello, una volta scoperto, può provocare godimento intellettivo e quindi bellezza.
Ad un tratto squilla il cellulare di Pitagora.
- Ma Maestro! Quello non era Kontakte di Karlheinz Stockhausen. Maestro! Maestro! Ma dove andate?
- Mi scusi. Devo scappare. Era Cromo. Mi richiama all'ordine. Ne riparliamo un'altra volta.

- Però non avevamo detto che la scienza non poteva prescindere dalla matematica e invece il viceversa sì?
- Sì, la scienza non può prescindere dalla matematica ma non per questo si può attribuire alla scienza una rigorosa matematicità. E infatti quando gli scienziati giocano con la matematica riescono anche a produrre tali bestialità.
- Io non ne sarei così sicuro - fa una voce severa in lontananza. Man mano che si avvicina, da dietro la tunica di quella figura snella e slanciata, si scopre lentamente un'altra figura più tozza e massiccia.
- Non è per niente una bestialità - rincara la dose il secondo uomo mentre si liscia i baffi.
- E voi chi sareste?
- Luigi Guido Grandi per servirla- risponde il frate.
- Ernesto Cesaro. Con l'accento sulla a - dice il secondo.
- Se applichiamo la sua definizione di somma della serie - riprende il frate indicando Cesaro - otterremo che la mia serie sarebbe uguale a un mezzo. Quindi quel risultato non è poi così assurdo.
- Ah, davvero!? - fa Pitagora. - Non sarebbe così assurdo? Allora applichiamo la definizione di Cesaro anche alla serie iniziale . Quello che otterremmo è la successione: 1, 4/2, 10/3, 20/4, 35/5, 56/6, = 1, 2, 3 + 1/3, 5, 7, 9 + 1/3, ... Le pare che questa converga a -1/12? Quindi due percorsi logici ci portano ad eguagliare lo stesso oggetto matematico a due numeri diversi. Questo non può che significare la fallacia di uno dei due. E quale dei due percorsi logici vi pare essere più fallace? Quello che assegna alla somma di tutti i numeri interi un numero indefinitamente grande o quello che le assegna una frazione negativa? - mi chiede il maestro.
- Beh, direi quello che assegna un numero indef ... - Il frate e Cesaro mi fissano con fare poco rassicurante. - O forse quello che assegna una fraz... - I tre si avvicinano minacciosamente.
tititititì tititititì tititititì tititititì

Per un approfondimento

Aggiornamenti
Segnalo anche il post di Juhan: Roba da matematti; che cita e approfondisce questo post. E poi è venuto anche quello di Maurizio Codogno: Non accettate somme dagli sconosciuti; che cita e riapprofondisce entrambi.

Segue da: Le lezioni di Eratocle: la sacra Tetraktys

La mattina successiva Eratocle arrivò alla scuola con un po' di ritardo. Entrò nell'aula e con una certa delusione la trovò vuota. Dopo qualche istante di attesa decise di concedersi una coppa d'idromele. Mentre stava rientrando in aula con la bevanda sentì dei passi veloci avvicinarsi alle sue spalle. Si voltò e vide Eurito che sopraggiungeva trafelato.
- Scusate maestro - disse il giovane non appena ebbe ripreso fiato. I suoi occhi scuri erano cerchiati da livide occhiaie. - Ho trascorso la notte a cercare il criterio per le terne - continuò passandosi una mano sui capelli crespi più ribelli del solito.
- Spero che un tale sforzo ti abbia almeno condotto alla scoperta del criterio - replicò Eratocle guardandolo severamente dall'alto della sua statura.
- Credo di sì - rispose timidamente il ragazzo.
- Bene. Illustrami quindi il ragionamento che ti ha condotto alla scoperta.
- Provo a riassumerlo - disse Eurito. - Sono partito dalla tavoletta a forma di triangolo rettangolo che abbiamo usato due giorni fa.
- Ho provato a sovrapporle i bastoncini che abbiamo usato ieri e mi sono accorto che le lunghezze dei suoi lati sono esattamente il doppio dei lati del triangolo rettangolo che abbiamo costruito con i bastoncini. Questi ultimi erano lunghi tre, quattro e cinque dita, mentre i lati della tavoletta sono sei, otto e dieci dita.
L'allievo mostrò al maestro la copia della figura che aveva stilato sulla tavoletta cerata. - Poi ho considerato che in entrambi i casi potevo applicare il teorema di Pitagora e usando anche i ciottoli mi sono ricollegato ai risultati visti ieri sui numeri quadrati. Così sono arrivato a capire che cosa intendevate quando avete detto che in questa relazione sussiste una triplice gioco di rimandi in cui figure geometriche esprimono numeri che a loro volta tornano ad esprimere nuove figure geometriche. Difatti il primo triangolo esprime i numeri 3, 4 e 5 e il secondo 6, 8, 10, e questi numeri generano attraverso i ciottoli delle nuove figure geometriche legate tra di loro dalla relazione del teorema di Pitagora.
- E dalla figura che ho riportato su quest'altra tavoletta si vede chiaramente che il quadrato di tre sommato al quadrato di quattro dà come risultato il quadrato di cinque. Poi ho riformulato il teorema di Pitagora attraverso le nuove nozioni sui numeri quadrati. E cioè, se un triangolo è rettangolo e se a, b e c sono le lunghezze dei lati allora:

 il numero quadrato di a sommato al numero quadrato di b darà come risultato il numero quadrato di c.

- Così ho pensato che il criterio cercato dovrebbe essere proprio il teorema di Pitagora - concluse Eurito gettando uno sguardo indagatore al maestro. Eratocle annuì lievemente. - Credo però che per esserne certi dovremmo verificare che sussista anche il viceversa. Cioè se dati tre numeri a, b e c per cui vale la suddetta relazione, allora il triangolo generato dalle asticelle di lunghezza  a, b e c è necessariamente rettangolo. - Il maestro annuì con più decisione. - Mi sono quindi messo alla ricerca di altre terne di numeri che soddisfacessero la relazione di Pitagora. La prima cosa che sono riuscito a dedurre, dal fatto che ogni numero della terna 6, 8, 10 è esattamente il doppio del rispettivo numero della terna 3, 4 e 5, è che si può ottenere una quantità illimitata di terne attraverso una semplice moltiplicazione dei tre numeri per un qualsiasi numero. Moltiplicando per 3 otterrei infatti la terna 9, 12 e 15 che soddisfa di nuovo il criterio. Moltiplicando per 4 otterrei 12, 16 e 20 che soddisfa di nuovo il criterio. E così via.
- Sì, questo è vero - confermò Eratocle. - Tuttavia, quella che hai trovato non è una dimostrazione. Hai solo trovato dei casi che confermano la tua ipotesi.
- No, ecco, su questa tavoletta ho anche scritto quella che dovrebbe essere una dimostrazione - rispose l'allievo porgendo la tavoletta al maestro. Eratocle la esaminò per un po' mentre Eurito si passava nervosamente lo stilo da una mano all'altra. - Ottima dimostrazione - sentenziò infine il maestro.
- Ho quindi verificato che 3, 4 e 5 è la terna più piccola tra quelle che soddisfano la relazione di Pitagora - riprese il ragazzo con foga.
- Anche questo è un risultato corretto - approvò Eratocle annuendo. - E vorrei soffermarmi un istante per sottolineare la bellezza dei numeri che caratterizzano questo triangolo. In esso troviamo che il 5, il simbolo del matrimonio, va ad unire il 3, dispari, simbolo del maschile e del limitato, al 4, pari, simbolo del femminile e dell'illimitato. Dimmi Eurito se questo triangolo non è una sintesi dell'armonia che concilia limitato e illimitato. - Il giovane annuì. - Ma vedo che hai anche altre tavolette - riprese il maestro.
- Sì, perché mi sono chiesto se ci fossero anche terne con la stessa proprietà ma che non si ottengono da una moltiplicazione di 3, 4 e 5. Dopo molti tentativi ho trovato 5, 12 e 13; ho costruito il triangolo e ho verificato che era rettangolo - concluse l'allievo mentre le sue occhiaie andavano distendendosi in un sorriso.
- Hai avuto una buona intuizione Eurito. Che potrebbe essere un buon punto di partenza...
- ... per concludere questo giochino da ragazzi - concluse una voce proveniente dall'ingresso dell'aula. I due si voltarono e videro Ippaso sulla soglia che li fissava con un sorriso beffardo. Un lampo di odio viscerale attraversò per un istante lo sguardo di Eratocle.
- Bell'argomento quello delle terne - continuò il metapontino. - Mi ricordo che quando cominciammo a studiarle, tu non afferrasti subito l'argomento. Ad ogni modo credo che sarebbe interessante far conoscere al ragazzo anche gli sviluppi di cui mi sto occupando in questi giorni e che vanno ben oltre le ricerche del maestro.
- Invece io penso che sia meglio non sovraccaricare Eurito con troppi concetti nuovi - rispose aspramente Eratocle.
- Chiediamolo a lui allora. Eurito, ti piacerebbe ascoltare un'interessante sviluppo sull'argomento che stavate trattando? - Il ragazzo guardò Eratocle. Poi arrossì, abbassò gli occhi e annuì lievemente. - Bene - proseguì Ippaso - gl'interessi degli allievi vanno sempre incoraggiati - disse lanciando un'occhiata spocchiosa verso Eratocle. - Il possibile sviluppo è molto semplice da spiegare. Basta combinare l'idea dei bastoncini con quella dei ciottoli. Dovresti costruire più gruppi di dodici bastoncini. I bastoncini di ogni gruppo dovrebbero avere la stessa lunghezza e ogni bastoncino dovrebbe essere costruito in modo da contenere dei ciottoli incastonati a distanze fissate. Disponendo poi tali bastoncini in modo da formare dei cubi di dimensioni diverse potrai trovare i numeri cubici. A quel punto potresti chiederti quali sono le terne di numeri che soddisfano la relazione di Pitagora per i numeri cubici. Cioè quali sono quei numeri  a, b e c per cui valga la seguente condizione. - Ippaso afferrò una tavoletta dalle mani dell'allievo e scrisse.

Il numero cubico di  a più il numero cubico di  b è uguale al numero cubico di  c

Eurito rimase a guardare Ippaso con un misto di smarrimento e ammirazione.
- Ma ora devo andare - disse Ippaso. - Vi lascio discutere la mia idea - concluse uscendo dall'aula sotto lo sguardo rabbioso di Eratocle.

Segue da: Le lezioni di Eratocle: numeri quadrati

- Triangoli equilateri?
- Sì, noi matematici chiamiamo equilateri quei triangoli che hanno i lati di lunghezza uguale.
 Eurito annuì e costruì il primo triangolo con diligenza.
E poi il secondo.
Quindi scrisse sulla tavoletta.

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- Fermati qui! - gl'intimò il maestro quando stava per aggiungere altri ciottoli alla figura. L'allievo lasciò cadere il sassolino che aveva in mano. - Presta molta attenzione a quello che stai per fare - declamò Eratocle. - Con questo passo trasformerai quella che è una semplice figura geometrica ottenuta con dei ciottoli in una rappresentazione della sacra Tetraktys: il triangolo magico che compendia in se tutta la verità del numero e conseguentemente tutta la sostanza delle cose. Eurito raccolse il ciottolo che gli era caduto e con molta cautela si accinse a completare la figura.
Non appena Eurito ebbe disposto l'ultimo sassolino Eratocle chinò il capo: - To Pan einai Arithmos - salmodiò. - Ripeti con me Eurito: To Pan einai Arithmos.
Dopo un attimo di riluttanza l'allievo si unì alla litania del maestro.
- To Pan einai Arithmos - ripeté un'ultima volta il maestro scandendo bene le sillabe. - Tutto è numero. È questo il nostro motto. Il motto dei pitagorici. Quello che il sommo maestro ha coniato dopo le recenti scoperte.
Il ragazzo lo guardava smarrito.
- Ed è con questo canto che dovremo sempre magnificare ogni manifestazione della sacra Tetraktys - continuò Eratocle. - Osservala Eurito. Osservala! E dimmi che cosa ti dice la sacra Tetraktys.
Eurito sgranò gli occhi.
- Da che cosa è composta? - lo incalzò il maestro.
- Da dieci ciottoli - rispose Eurito timoroso.
- E poi? Che figura geometrica rappresenta?
- Un triangolo… equilatero - azzardò l’allievo.
- Giusto! - confermò il maestro. - I tre lati, formati da quattro ciottoli identici, vanno a costituire un triangolo equilatero: il simbolo della perfetta eguaglianza. - Lo sguardo di Eurito cominciò a rasserenarsi. - E ora dimmi Eurito. Quanti ciottoli hai aggiunto ad ogni passo?
- Due, tre e quattro - rispose prontamente il ragazzo.
- Un numero pari, un numero dispari e di nuovo un numero pari: il simbolo dell’illimitato che si alterna al simbolo del limitato: i due princìpi basilari dell'universo. E il tutto generato dall’uno: l’unicità che può rendere dispari un pari e pari un dispari. - Eurito annuì. - Ma la proprietà più interessante della divina Tetraktys la scoprirai se riuscirai a vedere la connessione con l'armonia dei suoni. Lo sguardo del giovane vagava confuso. - Pensa al racconto di poco fa - lo esortò Eratocle. - Quali erano i numeri della consonanza? Quelli che abbiamo scoperto possedere un ruolo privilegiato rispetto a tutti gli altri numeri?
- Uno, due, tre e quattro! - esclamò Eurito. - Gli stessi numeri della divina Tetraktys!
- Precisamente. Combinando le loro somme potrai inoltre trovare i primi dieci numeri, così come aveva mostrato Pitagora alla fine dell'esperimento con corde e dischi. E con questi dieci numeri potrai generare tutti gli altri numeri che formano l'universo. Ma c'è dell'altro. - Il corpo del giovane allievo si protese verso il maestro. - Prova a scrivere i rapporti tra numeri di ciottoli contenuti nelle righe della Tetraktys partendo da quello tra la seconda e la prima riga.
Eurito scrisse.

2/1
3/2
4/3

- Ma sono proprio i rapporti tra i suoni consonanti dell'esperimento - concluse il giovane ammirato.
- Sì, proprio quelli. E per finire, la somma di tutti i punti della sacra Tetraktys dà come risultato dieci: il numero perfetto! - concluse Eratocle con ispirato fervore. - Pensaci Eurito! Rifletti sulla prodigiosità di questa figura. Non vedi in essa una formidabile sintesi dell’ordine numerico-musicale del cosmo? Non vi scorgi un meraviglioso compendio dei princìpi matematici che regolano l’ordine dell'universo? Di quei princìpi che dell’universo sono causa, precetto e cagione di armonia?
Eurito annuì di nuovo.
- Non ti sarà quindi difficile capire il motivo per cui tutti i giuramenti di noi pitagorici vengono formulati sulla sacra Tetraktys.
Il ragazzo scosse la testa in un riflesso ormai quasi condizionato.
- Bene - continuò il maestro - con le nozioni che hai appreso oggi sui numeri quadrati possiamo tornare ad affrontare il discorso delle lunghezze dei lati dei triangoli e cercare finalmente quel criterio per la determinazione delle terne di numeri che danno luogo ai triangoli rettangoli.
Il volto di Eurito s'illuminò con un sorriso.
- Riprendi la tavoletta - lo esortò il maestro - e leggimi l'altro criterio che hai scritto.
- Se indico le lunghezza dei bastoncini corti con a e b - cominciò a leggere Eurito - e quella del bastoncino lungo con c, allora, affinché si possa costruire un triangolo, è necessario che:

a più b sia maggiore di c

- Giusto - disse Eratocle. - E qual era quell'altra categoria di terne di numeri?
- Quella dei numeri che, come 3, 4 e 5, generano un triangolo rettangolo? - rispose titubante Eurito.
- Sì, quella - confermò Eratocle. - Ciò che vorrei tu trovassi adesso è la relazione che deve sussistere tra le lunghezze dei lati a, b e c affinché il triangolo sia rettangolo. Gli strumenti ce l'hai. Se troverai quella relazione vedrai come in essa sussiste una triplice gioco di rimandi: figure geometriche che esprimono numeri che a loro volta tornano ad esprimere nuove figure geometriche. Ma penso sia meglio continuare domani. Così avrai il tempo per rielaborare quanto appreso oggi e per cercare quella relazione. Prenditi le tavolette a forma di triangolo e i bastoncini, ti saranno utili.
Eurito uscì dall'aula riuscendo a malapena a biascicare un saluto.

Segue da: Le lezioni di Eratocle: il teorema di Pitagora (terza parte)

Il giorno successivo Eratocle trovò Eurito già in aula. Il giovane cessò immediatamente i suoi esperimenti, depose stilo e tavolette e salutò il maestro con riverenza. Eratocle rispose con un cenno di finta noncuranza.
- Ieri abbiamo dimostrato il teorema di Pitagora attraverso semplici manipolazioni di figure geometriche: senza mai usare i numeri - cominciò Eratocle. - Oggi aggiungeremo a quelle figure delle considerazioni numeriche e ti mostrerò come numeri e figure geometriche siano inestricabilmente interconnessi. Ti accorgerai che i numeri rappresentano l'essenza delle figure geometriche.

Eratocle tirò fuori dalla sacca cinque bastoncini e li dispose sullo scrittoio in ordine di lunghezza.
 - Il più piccolo di questi bastoncini è lungo un dito - disse Eratocle. - Secondo te quanto misurano gli altri?
Eurito prese il primo e il secondo. Li affiancò e li fece scorrere uno sull’altro: - A occhio mi sembra che il secondo sia il doppio del primo - disse. Poi giustappose il primo e il secondo e li affiancò al terzo. - Il terzo è uguale al secondo più il primo - osservò - e perciò è tre volte il primo. - Ripetendo l’operazione per i rimanenti due bastoncini Eurito trovò che il quarto era quattro volte il primo e il quinto cinque volte il primo. - Le lunghezze sono quindi uno, due, tre, quattro e cinque dita - disse Eurito mentre scriveva le cifre sulla tavoletta.

1 2 3 4 5

- Ora vorrei che tu provassi a costruire un triangolo rettangolo usando questi cinque bastoncini - disse Eratocle.
Eurito prese il primo, il secondo e il terzo bastoncino. Li affiancò, li spostò, li ruotò. - È impossibile - osservò infine. - Non si può costruire un triangolo con i lati di lunghezza uno, due e tre. - L'unica possibilità sarebbe quella di schiacciare i due lati corti su quello lungo fino a farli coincidere. Ma così otterremmo un segmento e non un triangolo. - Rifletté un attimo e poi continuò: - In realtà le combinazioni di bastoncini con cui posso costruire triangoli sono tre. E per la precisione quelle ottenute usando il secondo, il terzo e il quarto; il secondo, il quarto e il quinto; e il terzo, il quarto e il quinto. Infatti, la somma dei due latti più piccoli deve essere sempre più grande del lato più lungo, altrimenti ci si ritroverebbe in situazioni simili a quella precedente.
Poi Eurito prese il secondo, il terzo e il quarto bastoncino, ed ottenne rapidamente un triangolo. Lo osservò un istante. - Due degli angoli non sono sicuramente retti - disse - e non mi sembra che lo sia neppure il terzo.
- Se non sei totalmente sicuro, puoi provare a misurarlo - disse Eratocle indicando uno gnomone che giaceva sullo scrittoio.
- No, non si tratta di un angolo retto - disse Eurito dopo aver misurato. L'allievo costruì quindi un nuovo triangolo sostituendo il terzo bastoncino con il quinto e ridisponendo il secondo e il quarto.
- Su questo non ho dubbi! - esclamò. - Nessuno dei suoi angoli è retto.
Il giovane eliminò poi il secondo bastoncino, lo rimpiazzò con il terzo, spostò il quarto e il quinto e ottenne il triangolo di lati tre, quattro e cinque.
Eurito osservò la figura e dopo un istante le sue labbra e la sua fronte si distesero in un sorriso. Prese lo gnomone e lo dispose sull'angolo tra i lati di lunghezza tre e quattro: i bastoncini coincidevano perfettamente con i lati dello strumento. Senza proferir parola l'allievo andò a cercare nel volto del maestro la gratificazione attesa che egli, in uno scambio vicendevole di compiacimento, non gli negò.
- Bene - disse infine Eratocle. - Adesso cerchiamo di trarre qualche conclusione dagli esperimenti che abbiamo compiuto.
- Be', una cosa che ho appreso è che date le lunghezze dei tre lati possiamo distinguere tre casi. Con alcune lunghezze è proprio impossibile costruire il triangolo. Quando invece la somma delle lunghezze più piccole è maggiore della lunghezza più grande, allora è possibile costruire il triangolo. Ma solo con alcune lunghezze specifiche il triangolo costruito potrà essere rettangolo.
- Bravo! - lo lodò Eratocle. - E poi? Ti viene in mente qualcos'altro? Eurito stilò dei segni sulla tavoletta. Poi guardò i bastoncini: tre, quattro e cinque.
- Considera che tu hai trovato un criterio per distinguere due categorie di terne di numeri - riprese Eratocle - quelle con cui si può costruire un triangolo, come 2, 4 e 5, e quelle per cui la costruzione del triangolo risulta impossibile, come 1, 2 e 3.
 - Sì - confermò immediatamente Eurito - e posso anche scrivere quel criterio. - Il giovane prese una nuova tavoletta. - Se indico le lunghezza dei bastoncini corti con a e b e quella del bastoncino lungo con c, allora, affinché si possa costruire un triangolo, è necessario che:

a più b sia maggiore di c

- Perfetto. - disse Eratocle. - Ma tu non avevi individuato anche un'altra categoria di terne di numeri?
- Be', non ho trovato una vera e propria categoria. Ho trovata una sola terna, 3, 4 e 5, che dà luogo ad un triangolo rettangolo. - Eurito gettò uno sguardo sulla tavoletta con la formula e poi ai bastoncini disposti a triangolo. - Ho capito! - esclamò infine l'allievo - Mi state esortando a trovare un altro criterio per individuare la categoria di terne che danno luogo ai triangoli rettangoli.
- Precisamente - confermò Eratocle. - Ma credo che prima avremo bisogno di riguardare insieme i numeri triangolari e i numeri quadrati. Lo faremo nel pomeriggio. Ora ho degli impegni da sbrigare.

Purtroppo l'intervista che avevo programmato per questo nuovo racconto è saltata. Per quale motivo? Il  motivo è che l'ultimo sistema operativo rilasciato da Mῆλον conteneva un baco che ha fatto bloccare tutti gli adePhone 5. Tutti i centralini di Mῆλον sono intasati e circola già qualche voce di possibile bancarotta e di sostituzione del consiglio di amministrazione con un consiglio tecnico. Ma questa è un'altra storia.
Tornando all'intervista, alla fine ho pensato che l'unica possibilità per salvare il pezzo sarebbe stata quella di impegnarmi in una catàbasi: la leggendaria discesa (non in campo ma bensì) nell'Ade. E così, come fece il mio collega Orfeo molti anni or sono, mi sono recato a Cuma, sono disceso nell'Ade ed ho convinto Cerbero a cedermi una copia della biografia di Pitagora; quella che il giovane pitagorico Fulivao scrisse basandosi sulle memorie narrategli dal maestro pochi giorni prima della sua dipartita verso i Campi Elisi.
Convincere Cerbero non è stato facile. Il guardiano/centralinista ha ceduto solo dopo una serie di acquisti che mi ha ridotto quasi sul lastrico. Mi ha inoltre fatto firmare la postilla secondo cui avrei dovuto mantenere il libro dietro alle spalle per tutto il percorso di ritorno al mondo dei vivi: senza mai voltarmi a guardarlo; pena la pietrificazione istantanea. Non contento, il perfido cane tricefalo ha anche immediatamente mobilitato i suoi fratelli Idra, Ortro e Chimera disseminando il percorso di insidie e trabocchetti per farmi infrangere il patto. Ma io ho resistito, anche se le agghiaccianti urla di Idra a pochi metri dietro le mie spalle stavano per farmi voltare; e ora sono qui a leggervi la storia delle lezioni di Eratocle. L'unico problema è che da quando sono tornato dall'Ade sento una strana pesantezza su tutto il corpo. Per cui mi risulta poco agevole sfogliare le pagine. Quindi tra la lettura di una pagina e l'altra potrebbe trascorrere qualche giorno. Cominciamo con la prima pagina.


Quella mattina Eratocle si era svegliato molto presto, aveva mangiato e quindi si era messo a girovagare per le stanze senza uno scopo preciso. Poi aveva deciso di avviarsi lentamente verso la scuola. Quando giunse sulla porta d'ingresso vide che il cortile era semideserto. Diede uno sguardo all'ombra che lo gnomone proiettava sulla superficie sferica dell'orologio solare e si accorse che era ancora presto. La cosa non gli dispiacque: avrebbe avuto più tempo per controllare che tutto fosse predisposto per la lezione. Come si aspettava, l'aula era vuota. Cominciò a disporre stili, tavolette cerate e figure geometriche di legno. Quello era tutto il materiale che gli sarebbe servito per la prima lezione. La lezione in cui venivano fornite le basi aritmetiche e geometriche dei pitagorici. Le lezioni successive le avrebbero usate per esplorare le molteplici manifestazioni dei numeri: nella musica, nel moto degli astri, nell'universo. Era la prima volta che ad Eratocle veniva affidato il compito di impartire un ciclo di lezioni a un giovane matematico. Eurito era stato appena giudicato idoneo per il passaggio dal ruolo di acusmatico a quello di matematico e quel ciclo gli sarebbe servito per apprendere la versione più recondita delle conoscenze dei pitagorici: quella a cui si accede solo dopo essere stati iniziati ed aver compreso la profondità del concetto di dimostrazione; quella necessaria per poter accedere alle lezioni del maestro e comprenderle.
Le lezioni erano individuali e segrete in quanto in esse veniva esplorato e disvelato tutto il sapere dai pitagorici. Anche quello potenzialmente pericoloso che veniva custodito con la massima cautela. Eratocle era cosciente dell'importanza del suo ruolo. Ne sentiva la responsabilità e subiva la pesantezza di quel gravoso fardello. Proprio per questo voleva dare il meglio di sé e aveva speso giorni per prepararsi nel modo che riteneva più appropriato.
Eurito bussò alla porta ed entrò.
 - Accomodati pure - gli disse Eratocle. Dopo aver simulato per qualche istante un'impegnata lettura, il samio continuò: - Eurito, penso che tu sia consapevole dell'importanza di queste lezioni e di quanto esse siano fondamentali per acquisire le basi necessarie al tuo nuovo ruolo di matematico. Solo attraverso esse potrai arrivare ad incarnare tale ruolo in tutta la sua appagante interezza.
- Sì maestro, ne comprendo appieno l'importanza - rispose il giovane annuendo.
Sentirsi chiamare maestro lo metteva sempre di buon umore. Soprattutto quando a farlo era un matematico. - Per cominciare dovremo affrontare gli aspetti fondamentali del nostro pensiero - riprese Eratocle. - Partiremo dalla geometria e dall'aritmetica. E in particolare dalla prima importante nozione geometrica acquisita dal maestro: il teorema di Pitagora.
- Sì, la formula che il maestro apprese dai sacerdoti di Tebe - rispose Eurito.
- Ecco, finora quella per te è stata una formula - replicò Eratocle con un sorriso di commiserazione - ma da oggi essa diventerà un teorema. E vedendo come da semplice formula la trasformeremo in teorema comincerai anche ad appropriarti del concetto di dimostrazione. Quel concetto che Pitagora imparò a Mileto dal grande Talete e che applicò a quella formula elevandola così, primo tra tutti gli uomini, al rango di teorema. Quello che tutti avevano usato in precedenza per scopi pratici egli lo dimostrò. Svelando in tal modo l'intima natura di una così profonda correlazione universale che sussisteva sia tra le figure geometriche sia tra i numeri.
- Sarà un onore e una gioia per me apprendere cotanta sapienza - rispose Eurito con un'intonazione altisonante. Il giovane non mentiva. Nei sui occhi ampli e illuminati Eratocle lesse l'impazienza e l'entusiasmo del giovane assetato di sapere; ma ciò che lo gratificò ancora di più fu l'ammirazione per il maestro che traspariva dallo sguardo del giovane.

...continua...

In una delle nostre interviste Cerbero ci ha raccontato della scoperta di Pitagora nella bottega del fabbro. Secondo Giamblico, quella scoperta condusse i pitagorici ad immaginare una generalizzazione per cui partendo a ritroso dalla matematica si sarebbero potuti interpretare tutti i fenomeni fisici dell’Universo. L’idea era molto affascinante: attraverso la decifrazione delle proprietà dei numeri si sarebbe giunti a decifrare l’universo. 


La matematica è quindi l'espressione della razionalità dell'universo? E il suo senso è iscritto nelle leggi stesse che regolano la realtà in cui viviamo?

Questo Giamblico non ce lo dice. Però forse il racconto di come i pitagorici passarono da quella semplice osservazione nella bottega di un fabbro all'elaborazione della teoria del “Tutto è Numero” potrebbe aiutarci a capire. Vogliamo farcelo raccontare direttamente a Pitagora? 
Alcuni dei lettori conoscono già: l'adePhone 5, ma quello che nessuno ancora sa è che dopo giorni di trattative in cui ho dovuto acquistare diverse offerte di Cerbero sono riuscito finalmente ad ottenere il numero diretto di Pitagora, così non saremo più costretti a passare per quei fastidiosi centralini.


Allora, componiamo il numero: 101 010 10.
- Το Παν είναι Αριθμός!
- Maestro, che piacere risentirvi!
- Andiamo al dunque, mi dica che le serve stavolta.
- Vi ricordate che vi avevo chiesto di raccontarmi di come si svilupparono le ricerche dopo la scoperta nella bottega del fabbro, ma voi preferiste rispondere alla seconda domanda sulla scoperta dell'irrazionale?
- Certo che mi ricordo.
- Ecco, ora gradirei avere una risposta alla prima domanda.
- Oggi mi sento magnanimo e gliela concedo. Le leggerò il capitolo corrispondente sul libro del giovane Fulivao, quello basato sulle mie memorie che ormai lei dovrebbe conoscere bene. Vado a cominciar...


- Uno, due, tre... - Era la voce del maestro quella che proveniva dall'officina della scuola. - ... quattro, cinque, sei... - Quella era invece chiaramente la voce di Teano. Incuriosito Ippaso entrò.
- Ippaso, siediti pure - disse Teano mentre passava l'ultima corda a Trasibulo. Lo schiavo appese quel filamento di intestino di capra vicino agli altre sei. Sette corde ora pendevano dalla trave di una singolare struttura di legno.
- Vedo che l'esperimento con le corde si sta finalmente concretizzando - osservò Ippaso.
- Sì, solo che Pitagora non ha voluto darmi ascolto. Lui sostiene che per riprodurre le consonanze delle incudini si devono usare diverse corde di uguale lunghezza e spessore ed appendere un peso diverso ad ognuna di esse.
- Mi sembra chiaro Teano - intervenne il maestro. - Non capisco perché ti ostini a contraddirmi. Nella bottega di Gerone abbiamo visto che quando un'incudine era il doppio di una e due terzi dell'altra si producevano consonanze. Da cui abbiamo dedotto che i rapporti con i numeri 1, 2 e 3 danno luogo a consonanze. Mentre se i numeri in gioco erano più grandi, come nove e dieci, allora avevamo delle dissonanze. Con questi esperimenti sulle corde vorrei verificare che cosa succede quando si aggiungono altri rapporti con numeri più piccoli di nove, come ad esempio 4/3, 5/4 e 6/5.
 - Vedo le corde già disposte, ma non vedo i pesi - osservò Ippaso. - Li avete già fatti forgiare da Gerone?
- No, li ho fatti forgiare da Filippo l'orafo. Serviva un lavoro di precisione non una cosa da fabbri.
- Se ho ben capito il secondo peso dovrebbe essere il doppio del primo, il terzo 3/2 del primo e così via.
- Non esattamente. Il secondo è il doppio del primo ma il terzo è 3/2 del secondo, il quarto è 4/3 del terzo e così via.
- Mi sembra che il risultato non dovrebbe essere molto diverso rispetto a quello che si otterrebbe con i rapporti che dicevo io.
- No, si tratterebbe solo di far vibrare le corde nella sequenza giusta. Con i tuoi rapporti bisognerebbe fra vibrare la prima con la seconda, la prima con la terza, la prima con la quarta e così via. Con i miei rapporti invece si fa vibrare la prima con la seconda, la seconda con la terza, la terza con la quarta e così via. Ho scelto questa sequenza per facilitare il lavoro all'orafo.
Ippaso ci pensò un attimo. - Mi sembra ragionevole - disse. - Così il secondo peso sarà il doppio del primo, il terzo il triplo del primo, il quarto il quadruplo e così via. Decisamente più semplice. - Poi si volse verso Teano e continuò: - Come mai tu non sei d'accordo?
- Non so, l'intuito mi dice che non funzionerà. Secondo me i pesi dovrebbero essere identici mentre a variare con quei rapporti dovrebbero essere le corde a cui li appendiamo.
- Ma no! - ribatté Pitagora. - Se per le incudini la consonanza dipendeva dalle dimensioni, allora nel nostro esperimento essa dovrebbe dipendere dai rapporti tra i pesi. In ogni caso tra qualche istante saremo in grado di verificarlo. Trasibulo, portami i pesi.
Lo schiavo si avvicinò con un vassoio di legno su cui erano disposti sette cilindri d'argento ordinati dal più piccolo al più grande. La sommità di ogni cilindro era modellata ad occhiello. Il maestro legò ogni cilindro all'estremità inferiore della reciproca corda, facendo attenzione a usare la stessa porzione di corda per ogni nodo; e poi cominciò a far vibrare le corde con un plettro di corno. Pizzicò la prima e poi la seconda corda. C'era qualcosa di strano. Pitagora corrugò la fronte. Fermò la vibrazione della prima corda con un dito e pizzicò la seconda e la terza. Poi ripeté l’operazione con la terza e la quarta, la quarta e la quinta, la quinta e la sesta. Il maestro si fermò. Scosse la testa. No, c'era qualcosa di strano. Il risultato era chiaramente diverso da quello ascoltato nella bottega di Gerone. In quel momento si accorse che sua moglie lo stava guardando con un sorriso beffardo. 


…continua…

Se non vi piace l'aspetto dell'indice sottostante oppure se non funziona potete provare ad aprire questo.

... segue da Interviste impossibili: Pitagora, Ippaso e la scoperta dell'irrazionale (prima parte)

Erano mesi che aveva la mente pervasa da quell’ossessione. Quasi non riusciva a pensare più ad altro: doveva riuscire a trovarne almeno due. Forse ne esistevano un’immensità. Ma a lui ne sarebbero bastati solo due. Eppure, per quanto si fosse impegnato molto a cercarli, non era ancora riuscito a scovarne neppure l'ombra.
L’ossessione era cominciata il giorno in cui Ippaso, durante la prova per l’ammissione di un nuovo allievo, aveva cominciato a tracciare con il suo stilo alcune figure su una tavoletta cerata.

- Allora Megacle vediamo come esporresti la proprietà del triangolo e dei quadrati costruiti su di esso.
Il giovane cominciò la sua esposizione commentandola cantilenando come se fosse una litania. Mentre annuiva Ippaso prese una tavoletta e iniziò a passarsela da una mano all’altra.
- È da questo che possiamo dedurre… - disse Megacle.
Ippaso prese il suo stilo e tracciò una prima figura sulla tavoletta: un quadrato.
- Poi, se consideriamo che … - continuò l’aspirante allievo mentre Ippaso tracciava una linea da un vertice a quello opposto dividendo così il quadrato in due due triangoli uguali.
- Da cui si può concludere… - disse Megacle sempre più incalzante mentre Ippaso disegnava dei quadrati sui lati del triangolo inferiore.

Quello era per Ippaso quasi un riflesso condizionato. Ogni volta che vedeva un triangolo rettangolo tracciava sempre dei quadrati sui suoi lati. Troppe volte aveva sentito il maestro insegnare il suo teorema e troppe volte lui stesso lo aveva insegnato ai nuovi allievi.
- Maestro! Mi state ascoltando? - chiese Megacle.
- Sì, sì! - disse Ippaso trasalendo. Penso che vada bene. Anche se la parte espositiva potrebbe essere migliorata. Dovrò parlarne con il maestro. Ti comunicheremo l’esito tra qualche giorno.

Tornando a casa Ippaso aveva continuato a pensare ai quadrati e ai triangoli che aveva tracciato durante la prova.
Dunque, secondo il nostro teorema il quadrato grande, quello costruito sulla diagonale del primo quadrato più piccolo, dovrebbe avere l'area uguale alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. - pensò Ippaso guardando la figura sulla tavoletta.
Infatti in questo caso i due cateti coincidono con i lati del quadrato piccolo e l'ipotenusa con la diagonale dello stesso.
Inoltre, essendo anche i lati di un quadrato, i cateti hanno anche la stessa lunghezza.
Allora, se provo a considerare il caso più semplice, quello in cui il lato del quadrato piccolo abbia lunghezza uno, mi troverei nella situazione in cui anche i due cateti avrebbero lunghezza uno.

Frattanto Ippaso era giunto a casa. Entrò, prese delle nuove tavolette e si sedette.

Quindi, secondo il nostro teorema, l'area del quadrato grande dovrebbe essere uguale a... - e sulla tavoletta che conteneva la figura aggiunse la lettera A sul quadrato grande per indicarne l'area


e poi scrisse la seguente formula.


A = 1x1 + 1x1 = 2 


- Illustre Pitagora, scusate se interrompo la vostra lettura, ma qui sull'adePhone mi sono arrivate le immagini e le formule. Guardandole mi sono posto una domanda: a quei tempi usavate già le cifre arabe? E i simboli erano uguali a quelli che usiamo noi? E Poi anche l’uso di quella parola, "teorema"…
- Ma che domande! Ovviamente no. Usavamo un modo completamente diverso per descrivere queste cose. Era molto più prolisso e complicato. Ed anche i termini erano diversi. Noi abbiamo semplificato! Vuole che le mandi quelle di formule? Vuole che usi sempre i termini filologicamente corretti?
- No, no, scusate, era solo una curiosità.
- Ecco, allora non mi interrompa più altrimenti perdiamo il filo. Torniamo al pensiero del povero Ippaso.


Tuttavia l’area del quadrato grande è anche uguale al suo lato moltiplicato per se stesso; che in questo caso coincide con la diagonale del quadrato piccolo moltiplicata per se stessa - pensò Ippaso e scrisse.

A = dxd

Ma abbiamo anche visto che A deve essere uguale a due e quindi anche la diagonale moltiplicata per se stessa deve essere uguale a due - e aggiunse sulla tavoletta:

dxd = 2

Quindi la lunghezza della diagonale, d, dovrebbe essere quel numero che moltiplicato per se stesso dia come risultato due. A questo punto mi chiedo che numero sia questo d. Dovrebbe essere abbastanza semplice trovarlo.

Prima di tutto posso dire che d dovrà essere compreso tra uno e due. Infatti se d fosse più piccolo di uno anche dxd sarebbe più piccolo di uno e se fosse più grande di due, dxd sarebbe più grande di quattro.

Pertanto d deve essere un rapporto tra due numeri in cui il numeratore è più grande del denominatore.

d=n/m n>m

Ippaso si era quindi messo a cercare quei due numeri n ed m. Pensava che usando le raffinate tecniche aritmetiche della scuola si sarebbe tolto la curiosità con un semplice esercizio.
Aveva cominciato a fare delle prove partendo da numeri piccoli:

3/2 x 3/2 = 9/4 = 2,25
No, troppo grande.

7/5 x 7/5 = 49/25 = 1,96
No, troppo piccolo.

11/8 x 11/8 = 121/64 = 1,890625
Ancora troppo piccolo.

23/16 x 23/16 = 529/256 = 2,06640625
Troppo grande.

Continuando le prove con coppie di numeri sempre più grandi dopo alcuni giorni Ippaso era arrivato a:

99/70 x 99/70 = 9801/4900 = 2,0002040816326530612244897959184
Che era ancora troppo grande.

Le tecniche di calcolo che conosceva non gli permettevano di andare molto oltre. E dopo giorni e giorni di ulteriori tentativi Ippaso aveva cominciato a sospettare che forse quella non era la strada giusta.
Nonostante la riluttanza dovuta al suo innato orgoglio si era quindi deciso a parlarne con il maestro.
Il giorno prima aveva aspettato Pitagora alla fine di una lezione e gli aveva illustrato le sue difficoltà. Il maestro si era reso conto rapidamente della complessità della questione. Avevano deciso di non parlarne con nessun altro ed erano rimasti d'accordo che l'indomani mattina il maestro sarebbe andato a casa di Ippaso e insieme avrebbero cercato di risolvere il problema.

…continua…

Nell'ultima intervista abbiamo sentito Cerbero riportare il racconto di Pitagora relativo alla scoperta nella bottega del fabbro. Secondo Giamblico, quella scoperta condusse i pitagorici ad immaginare una generalizzazione per cui partendo a ritroso dalla matematica si sarebbero potuti interpretare tutti i fenomeni fisici dell’Universo. L’idea era molto affascinante: attraverso la decifrazione delle proprietà dei numeri si sarebbe giunti a decifrare l’Universo. Fu ovvio quindi giungere alla conclusione che “Tutto è Numero”. E proprio su questo motto i pitagorici costruirono buona parte della loro dottrina.
Finché un giorno, dice Giamblico, un membro della scuola si accorse della presenza di un grosso problema. E questo problema si celava proprio dietro il teorema del Maestro. Dietro il teorema di Pitagora!
Che cosa scoprì esattamente questo membro della scuola? Ed è vero che che fu severamente punito - qualcuno dice addirittura assassinato - per la divulgazione di tale scoperta?

Penso che ormai sappiate che con il nostro φιχιfonino oltretombale di Mηλον, l’adePhone 5, possiamo effettuare collegamenti iperspazio-temporali retrogradi. Sapete anche che nell'ultima intervista Cerbero ci ha svelato che Pitagora di Samo, l'inventore del termine "matematico" nonché filosofo, mistico e teorico musicale, invece che nell'Ade dimora nei Campi Elisi: il regno di Crono; dove dimora chi fu amato dagli Dei. Ma non penso che sappiateche dopo l'ultima intervista sono anche riuscito a convincere Cerbero a darmi il numero dei Campi Elisi.
Allora, chiamiamo un po' quest'Eliseo e vediamo se finalmente sentiremo la voce di Pitagora: 000 111 001
- Dlin, dlin, dlin, dlin, dlon. Dlin, dlin, dlin, dlin, dlon 
Sono Crono figlio di Urano e signore dell'Eliseo. Chi disturba il mio sonno?
- (tra se e se) Oh, no! Mi ha dato proprio il numero di Crono! Sordo e bisbetico. Quel Cerbero ha sempre voglia di scherzare. Dovrò urlare ed usare molto tatto.
- Scusate divino Crono non intendevo disturbarvi. Volevo solo parlare con Pitagora di Samo figlio di Mnemarco.
- Mi chiedete una cosa impossibile! I Campi Elisi non consentono chiamate da adePhone.
- Ah, scusate. Non lo sapevo. Ma non sarebbe possibile fare un'eccezione?
- Un'eccezione!? Ma come vi permettete!? E poi io non ho tempo di occuparmi di queste cose. Vi passo il mio segretario Menelao e me ne torno al mio sacro riposo.
- Pronto, sono Menelao figlio di Atreo e di Erope e fratello di Agamennone.
- Ma allora siete proprio quel Menelao! Il marito di Elena. L'eroe della Guerra di Troia!
- Non mi ricordi quelle piaghe per favore. Proprio a causa di quelle storie sono finito in questo posto noioso. Mi dica che cosa desidera piuttosto.
- Vorrei parlare con Pitagora, ma Crono mi ha detto della restrizione per l'adePhone.
- Sì, quella restrizione c'è, ma Crono non è molto aggiornato sulle nostre offerte. Lui è un po' all'antica, ma io qui sto cercando di svecchiare un po' le cose per cominciare a fare un po' di concorrenza all'Ade e rendere questo posto un po' più interessante. Nel suo caso specifico potremmo offrirle l’offerta "Campi Elisi con un lising". L’offerta prevede che con sole trenta dracme...
- Va benissimo, non mi interessa il resto. La prendo! Ora posso parlare con Pitagora?
- Sì, attivo subito il servizio e inoltro la chiamata.
- Dlin, dlin, dlin, dlin, dlon. Dlin, dlin, dlin, dlin, dlon
Pronto, sono Pitagora di Samo figlio di Mnemarco.
- Maestro, che emozione riuscire a parlare finalmente con voi.
- Per favore, non si dilunghi nei convenevoli. Sono già sufficientemente tediato dall'immutabile tranquillità dei Campi Elisi. Andiamo subito al dunque. Perché mi ha chiamato?
- Sì Maestro, certo. La chiamo per farle un'intervista.
- Ah, bene. Mi sembra una proposta interessante. Ma forse qualsiasi proposta sarebbe stata preferibile a questa inedia. E che domande mi vorrebbe porre?
- Be', fondamentalmente due domande. Cerbero mi ha narrato il vostro racconto della scoperta nella bottega del fabbro. Vorrei sapere come le cose si svilupparono in seguito.
- E l'altra domanda?
- L'altra sarebbe sulla storia della scoperta dell'irrazionale.
- Preferisco di gran lunga la seconda domanda. Proprio oggi stavo rileggendo il capitolo della scoperta dell'irrazionale sul libro che il giovane Fulivao scrisse basandosi sulle memorie che gli narrai pochi giorni prima della mia dipartita verso i Campi Elisi.
- Fulivao? Non ho mai letto questo nome su nessun libro di storia.
- Infatti l'autore ebbe poca fortuna e fu presto dimenticato. Inoltre l'unica copia del libro bruciò nel primo rogo della biblioteca di Alessandria, ai tempi di Giulio Cesare. Quindi lei sarà il primo a poter accedere al contenuto di quelle pagine. E potrà godere addirittura del privilegio, più unico che raro, di ascoltare la lettura dalla voce del protagonista stesso del libro. Allora, vediamo dov'era il segno. Eccolo ....