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lunedì, gennaio 31, 2022
La fallacia della raccolta delle ciliegie
La fallacia della raccolta delle ciliegie descrive l'atteggiamento, spesso inconscio, di chi si concentra sui (pochi) fatti che confermano la propria tesi ignorando i (molti) fatti che potrebbero confutarla.
Ho l'impressione che ne cadiamo vittime molto più spesso di quanto pensiamo.
lunedì, dicembre 28, 2020
Le dichiarazioni di Andrea Crisanti sul vaccino COVID19
Non credo che un virologo non potesse non immaginare che sarebbe finita così. E allora perché a novembre ha sentito quell’impellente necessità di rilasciare dichiarazioni che hanno confuso molti cittadini?
19 novembre 2020: Andrea Crisanti: "Col primo vaccino a gennaio, senza dati, non mi vaccinerei"
Ecco un virgolettato della dichiarazione di Crisanti di novembre:
“Normalmente ci vogliono dai 5 agli 8 anni per produrre un vaccino. Per questo, senza dati a disposizione, io non farei il primo vaccino che dovesse arrivare a gennaio. Perché vorrei essere sicuro che questo vaccino sia stato opportunamente testato e che soddisfi tutti i criteri di sicurezza ed efficacia. Ne ho diritto come cittadino e non sono disposto ad accettare scorciatoie”.
Mi pare una dichiarazione formalmente corretta da un punto di vista logico ma assolutamente priva di buon senso, perché non si stava parlando dell’Avigan né della clorochina dei complottisti. La dichiarazione riguardava vaccini che stavano seguendo tutte le procedure necessarie per ricevere l’approvazione dagli organi preposti.
Quindi un’implicazione con antecedente vero per definizione perché nessun vaccino può essere somministrato senza essere stato opportunamente testato e senza soddisfare tutti i criteri di sicurezza ed efficacia. Quello di Crisanti è stato quindi un esercizio di stile che ha avuto l’effetto di una dichiarazione ovvia per chi già sapeva come stavano le cose, e, invece, ha confuso la maggior parte dei cittadini che non sanno nulla delle procedure di approvazione dei farmaci.
Ne ho avuto la riprova con un’amica, non negazionista, né antivax, e di istruzione medio-alta, che, dopo aver sentito le dichiarazioni di Crisanti ha cominciato ad avere dubbi se vaccinarsi o meno.
19 novembre 2020: Andrea Crisanti: "Col primo vaccino a gennaio, senza dati, non mi vaccinerei"
27 dicembre 2020: Andrea Crisanti: «Il vaccino? È sicuro, e ora lo faccio anch’io»
Ecco un virgolettato della dichiarazione di Crisanti di novembre:
“Normalmente ci vogliono dai 5 agli 8 anni per produrre un vaccino. Per questo, senza dati a disposizione, io non farei il primo vaccino che dovesse arrivare a gennaio. Perché vorrei essere sicuro che questo vaccino sia stato opportunamente testato e che soddisfi tutti i criteri di sicurezza ed efficacia. Ne ho diritto come cittadino e non sono disposto ad accettare scorciatoie”.
Mi pare una dichiarazione formalmente corretta da un punto di vista logico ma assolutamente priva di buon senso, perché non si stava parlando dell’Avigan né della clorochina dei complottisti. La dichiarazione riguardava vaccini che stavano seguendo tutte le procedure necessarie per ricevere l’approvazione dagli organi preposti.
Quindi un’implicazione con antecedente vero per definizione perché nessun vaccino può essere somministrato senza essere stato opportunamente testato e senza soddisfare tutti i criteri di sicurezza ed efficacia. Quello di Crisanti è stato quindi un esercizio di stile che ha avuto l’effetto di una dichiarazione ovvia per chi già sapeva come stavano le cose, e, invece, ha confuso la maggior parte dei cittadini che non sanno nulla delle procedure di approvazione dei farmaci.
Ne ho avuto la riprova con un’amica, non negazionista, né antivax, e di istruzione medio-alta, che, dopo aver sentito le dichiarazioni di Crisanti ha cominciato ad avere dubbi se vaccinarsi o meno.
mercoledì, gennaio 23, 2019
Ma i numeri hanno tutti lo stesso grado di realtà? - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini
L'ultima volta hocommentato la considerazione di Zellini secondo cui nel continuo ci sono infinite metà, ma solamente in potenza e non in atto. "In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che ciò che si muove si muova contando."
Oggi riporto un'interessante osservazione sul grado di realtà dei numeri. Cioè, sul loro statuto ontologico.
"...Quel che è certo, al contrario di ciò che pensavano Cantor o Frege, è che i numeri non hanno tutti il medesimo statuto ontologico. I numeri che esistono, ma che non si possono calcolare, non hanno la stessa realtà dei numeri calcolati dalla macchina. I primi non si collocano, a differenza dei secondi, nello spazio e nel tempo di un’effettiva elaborazione automatica, né attualmente né virtualmente. Da un certo punto di vista un numero esiste, è reale, solamente se c’è una effettiva procedura che lo calcola. Ma questa procedura deve essere anche efficiente: altrimenti, come nel caso del metodo di Cramer o della matrice di Hilbert, non si saprebbe distinguere, sul piano di una effettiva realizzabilità, il calcolabile dal non calcolabile. Ciò che è calcolabile è come se non lo fosse."
Altre considerazioni correlate:
Zellini e l'ontologia della matematica
Roberto Natalini e il rapporto tra matematica e realtà
Non ci si può muovere contando
"...Quel che è certo, al contrario di ciò che pensavano Cantor o Frege, è che i numeri non hanno tutti il medesimo statuto ontologico. I numeri che esistono, ma che non si possono calcolare, non hanno la stessa realtà dei numeri calcolati dalla macchina. I primi non si collocano, a differenza dei secondi, nello spazio e nel tempo di un’effettiva elaborazione automatica, né attualmente né virtualmente. Da un certo punto di vista un numero esiste, è reale, solamente se c’è una effettiva procedura che lo calcola. Ma questa procedura deve essere anche efficiente: altrimenti, come nel caso del metodo di Cramer o della matrice di Hilbert, non si saprebbe distinguere, sul piano di una effettiva realizzabilità, il calcolabile dal non calcolabile. Ciò che è calcolabile è come se non lo fosse."
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Non ci si può muovere contando
sabato, luglio 07, 2018
Non ci si può muovere contando - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini
L'ultima volta abbiamo visto come Zellini dà ragione Zenone ritenendo che Weierstrass, col bandire rigorosamente tutti gli infinitesimali, dimostrò finalmente che viviamo in un mondo immutabile, e che la freccia, in ogni singolo istante del suo volo, è realmente in quiete. L’immobilità prevale sul movimento che può essere interpretato attraverso le sole coordinate dello spazio-tempo, e quindi per via di successive posizioni fisse e puntuali. Per cui «La meccanica può spiegare il movimento solo attraverso l’immobilità».
Oggi proseguiremo ancora su quel tema riportando le considerazioni che spingono Zellini a concludere: "nel continuo ci sono, è vero, infinite metà, ma solamente in potenza, non in atto. In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che ciò che si muove si muova contando. Ma allora era chiaro che il movimento e la continuità della retta non potevano trovare una spiegazione nei soli numeri naturali con cui si contano le cose una per una. Si sarebbe resa necessaria una teoria più generale del numero e una estensione dell’idea di attualità a quelli che alla fine del XIX secolo si sarebbero chiamati, non a caso, numeri reali."
"Come spiegava Russell, «infinità e continuità appaiono insieme nell’aritmetica pura» (Principles, par. 435). Fu questa conquista dell’intelletto a presentarsi come un rimedio alle difficoltà che Zenone aveva sollevato circa la natura del movimento e la composizione del continuo. La soluzione moderna del paradosso di Achille si basò sull’assumere come reale o possibile proprio ciò che Zenone considerava paradossale, cioè, nel commento di Russell, l’assenza di uno stato di moto: un sacrificio che salvava un dato irrinunciabile, l’esistenza attuale delle cose. Un’entità attuale, notava Whitehead, non si muove: essa è dove è ed è ciò che è. Russell sosteneva che la nozione di uno stato di moto non è fondata, perché il movimento è fatto di posizioni atomiche occupate in determinati istanti, entrambi valutabili mediante numeri reali, corrispondenti a punti della retta. Aristotele (Fisica, 234 a 24 sgg.) aveva dimostrato che nulla può muoversi in un istante fissato, e che perciò il tempo non è fatto di istanti. Russell rispondeva che in effetti è vero, nell’istante nulla si muove, e che questo è compatibile con una teoria coerente del continuo aritmetico provvisto di metrica euclidea, come era stato elaborato da Weierstrass, da Dedekind e da Cantor. Solamente così si poteva garantire la realtà di ciò che muta e si muove. Il paradossale diventava reale...
La matematica è sempre stata un’arte del paradosso, e le sue formule hanno spesso suscitato una reazione d’incredulità nello stesso scienziato che le ha scoperte o ideate. Ma la matematica è anche un’arte di costruire simulazioni e modelli fedeli, fin dove è possibile, delle nostre concezioni comuni, mediante definizioni e teorie in grado di farci riconoscere ciò che ci attendiamo. A quell’impercettibile forzatura che si coglie nei commenti di Russell, seguì l’esplicito imbarazzo del commento al primo paradosso sul moto di Zenone da parte di Hilbert e di Bernays, fatto proprio, successivamente, anche da Stephen Kleene: C’è una soluzione molto più radicale del paradosso. Questa consiste nel prendere atto che non siamo obbligati in nessun modo a credere che la rappresentazione matematica del moto in termini di spazio e tempo sia fisicamente significativa per intervalli di spazio e di tempo arbitrariamente piccoli; piuttosto abbiamo ogni ragione di supporre che quel modello matematico estrapola i fatti di un certo dominio di esperienza, cioè i movimenti entro ordini di grandezza finora accessibili alla nostra osservazione, nel senso di una semplice costruzione concettuale, analoga al modo in cui la meccanica dei continui effettua un’estrapolazione in cui si assume che lo spazio sia riempito, in modo continuo, di materia.
...
La situazione è simile in tutti i casi in cui si crede possibile esibire direttamente un infinito [attuale] come dato dall’esperienza o dalla percezione
...
Un esame più attento mostra allora che un’infinità non ci è data in nessun modo, ma è interpolata o estrapolata per via di un procedimento intellettuale. Non c’era però altra via se non appunto quella di estrapolare, di completare i fatti dell’esperienza con un modello matematico del continuo, riconducibile a sua volta, come notò Hermann Weyl, a una mera costruzione simbolica. Aristotele (Fisica, 263 a 25-30) osservava che se si divide ripetutamente il continuo in due metà non possono risultare continui né la linea né il movimento. Il movimento, precisava, è proprio di un continuo, e nel continuo ci sono, è vero, infinite metà, ma solamente in potenza, non in atto. In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che ciò che si muove si muova contando. Ma allora era chiaro che il movimento e la continuità della retta non potevano trovare una spiegazione nei soli numeri naturali con cui si contano le cose una per una. Si sarebbe resa necessaria una teoria più generale del numero e una estensione dell’idea di attualità o di entelechia a quelli che alla fine del XIX secolo si sarebbero chiamati, non a caso, numeri reali."
Altre considerazioni correlate:
Zellini e l'ontologia della matematica
Roberto Natalini e il rapporto tra matematica e realtà
Oggi proseguiremo ancora su quel tema riportando le considerazioni che spingono Zellini a concludere: "nel continuo ci sono, è vero, infinite metà, ma solamente in potenza, non in atto. In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che ciò che si muove si muova contando. Ma allora era chiaro che il movimento e la continuità della retta non potevano trovare una spiegazione nei soli numeri naturali con cui si contano le cose una per una. Si sarebbe resa necessaria una teoria più generale del numero e una estensione dell’idea di attualità a quelli che alla fine del XIX secolo si sarebbero chiamati, non a caso, numeri reali."
La matematica è sempre stata un’arte del paradosso, e le sue formule hanno spesso suscitato una reazione d’incredulità nello stesso scienziato che le ha scoperte o ideate. Ma la matematica è anche un’arte di costruire simulazioni e modelli fedeli, fin dove è possibile, delle nostre concezioni comuni, mediante definizioni e teorie in grado di farci riconoscere ciò che ci attendiamo. A quell’impercettibile forzatura che si coglie nei commenti di Russell, seguì l’esplicito imbarazzo del commento al primo paradosso sul moto di Zenone da parte di Hilbert e di Bernays, fatto proprio, successivamente, anche da Stephen Kleene: C’è una soluzione molto più radicale del paradosso. Questa consiste nel prendere atto che non siamo obbligati in nessun modo a credere che la rappresentazione matematica del moto in termini di spazio e tempo sia fisicamente significativa per intervalli di spazio e di tempo arbitrariamente piccoli; piuttosto abbiamo ogni ragione di supporre che quel modello matematico estrapola i fatti di un certo dominio di esperienza, cioè i movimenti entro ordini di grandezza finora accessibili alla nostra osservazione, nel senso di una semplice costruzione concettuale, analoga al modo in cui la meccanica dei continui effettua un’estrapolazione in cui si assume che lo spazio sia riempito, in modo continuo, di materia.
...
La situazione è simile in tutti i casi in cui si crede possibile esibire direttamente un infinito [attuale] come dato dall’esperienza o dalla percezione
...
Un esame più attento mostra allora che un’infinità non ci è data in nessun modo, ma è interpolata o estrapolata per via di un procedimento intellettuale. Non c’era però altra via se non appunto quella di estrapolare, di completare i fatti dell’esperienza con un modello matematico del continuo, riconducibile a sua volta, come notò Hermann Weyl, a una mera costruzione simbolica. Aristotele (Fisica, 263 a 25-30) osservava che se si divide ripetutamente il continuo in due metà non possono risultare continui né la linea né il movimento. Il movimento, precisava, è proprio di un continuo, e nel continuo ci sono, è vero, infinite metà, ma solamente in potenza, non in atto. In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che ciò che si muove si muova contando. Ma allora era chiaro che il movimento e la continuità della retta non potevano trovare una spiegazione nei soli numeri naturali con cui si contano le cose una per una. Si sarebbe resa necessaria una teoria più generale del numero e una estensione dell’idea di attualità o di entelechia a quelli che alla fine del XIX secolo si sarebbero chiamati, non a caso, numeri reali."
Altre considerazioni correlate:
Zellini e l'ontologia della matematica
Roberto Natalini e il rapporto tra matematica e realtà
mercoledì, maggio 16, 2018
Zenone aveva ragione! - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini
L'ultima volta ho condiviso considerazioni di Zellini sul tema del realismo in matematica e dall'annoso pitagorico problema dei razionali e degli irrazionali.
Oggi proseguiamo su quel tema riportando le considerazioni di Zellini sui paradossi di Zenone... Ma quindi Zenone aveva ragione?
"In questo mondo capriccioso, nulla è più capriccioso della fama presso i posteri. Una delle più notevoli vittime della mancanza di senno è Zenone di Elea. Malgrado abbia inventato quattro argomentazioni tutte smisuratamente sottili e profonde, la stupidità dei filosofi a lui successivi proclamò che Zenone non era altro che un ingegnoso giocoliere e le sue argomentazioni erano tutte sofismi. Dopo duemila anni di continua confutazione, questi sofismi sono stati nuovamente enunciati, e formarono la base di una rinascita della matematica ad opera di un professore tedesco...
Weierstrass, col bandire rigorosamente tutti gli infinitesimali, ha finalmente dimostrato che noi viviamo in un mondo immutabile, e che la freccia, in ogni singolo istante del suo volo, è realmente in quiete.
Russell (Principles, par. 332) pensava che l’argomento della freccia enunciasse un fatto del tutto elementare, e che il trascurarlo avesse tenuto la filosofia del movimento in un pantano per lunghi secoli. Il suo richiamo a Karl Weierstrass si può spiegare in questo modo: assieme ad Augustin-Louis Cauchy, Weierstrass fu il primo matematico a rifondare con chiarezza l’analisi senza infinitesimi, affermando che
una funzione f(x) tende a un limite L, per x che tende a l, se, in corrispondenza a un dato valore positivo ε comunque piccolo, si può trovare un numero positivo δ (dipendente da ε) tale che la distanza di f(x) da L è minore di ε quando la distanza di x da l è minore di δ. Se L = 0 la funzione f si approssima a 0 per x che tende a l, ma nella definizione si evita appositamente di dire che il valore f(x) diventa infinitesimo.
Scompare allora l’idea del fluire, della tensione dinamica della variabile verso il suo limite, semplicemente perché le variabili, entro i confini disegnati da ε e da δ, non si muovono affatto, assumono soltanto i valori che a loro competono. L’immobilità prevale sul movimento.
Si può allora definire la velocità di un corpo in un istante t soltanto come il limite del rapporto tra lo spazio percorso e il tempo di percorrenza al tendere della variabile tempo all’istante t. Questo limite, un semplice numero, è la derivata dello spazio come funzione del tempo di percorrenza all’istante t. In questo modo si potevano evitare le «quantità evanescenti» concepite nei primi sviluppi del calcolo infinitesimale.
...
I numeri razionali e irrazionali, pensati come limiti di variabili, ereditavano la natura effettiva e reale di concetti fisici come la velocità e l’accelerazione. Negli stessi numeri si potevano ravvisare delle entità atomiche paritetiche ai punti della retta. Il movimento poteva essere interpretato attraverso le sole coordinate dello spazio-tempo, e quindi per via di successive posizioni fisse e puntuali. «La meccanica può spiegare il movimento solo attraverso l’immobilità».
Solamente nei numeri, era questa la conclusione importante, si trovava la realtà del continuo spazio-temporale. E i numeri che assolvevano a questo compito potevano essere sia razionali che irrazionali. Di più, l’esistenza dei numeri reali (razionali + irrazionali) sarebbe apparsa, dopo Weierstrass, l’effetto di una libera creazione del matematico, ancorché indotta da proprietà oggettive del corpo numerico. Quale migliore accordo tra pensiero e natura, tra libertà ed effettività?
...
ma la continuità geometrica era già di fatto concepita, grazie alle teorie di Cantor e di Dedekind, come un dominio di numeri attuali. Il disegno dell’aritmetizzazione dell’analisi aveva già atomizzato l’estensione continua. L’attualità poggia infine, nella teoria del continuo numerico, su entità atomiche definite, costituenti un sistema di divisioni reali, di eventi istantanei in relazione con altri eventi collocati in qualche punto del continuo. Tra numeri e punti si stabilisce assiomaticamente una corrispondenza biunivoca, e per il tramite dei numeri i punti dello spazio e gli istanti del tempo acquistano una nuova specie di realtà."
Altre considerazioni correlate:
Zellini e l'ontologia della matematica
Roberto Natalini e il rapporto tra matematica e realtà
Oggi proseguiamo su quel tema riportando le considerazioni di Zellini sui paradossi di Zenone... Ma quindi Zenone aveva ragione?
Weierstrass, col bandire rigorosamente tutti gli infinitesimali, ha finalmente dimostrato che noi viviamo in un mondo immutabile, e che la freccia, in ogni singolo istante del suo volo, è realmente in quiete.
Russell (Principles, par. 332) pensava che l’argomento della freccia enunciasse un fatto del tutto elementare, e che il trascurarlo avesse tenuto la filosofia del movimento in un pantano per lunghi secoli. Il suo richiamo a Karl Weierstrass si può spiegare in questo modo: assieme ad Augustin-Louis Cauchy, Weierstrass fu il primo matematico a rifondare con chiarezza l’analisi senza infinitesimi, affermando che
una funzione f(x) tende a un limite L, per x che tende a l, se, in corrispondenza a un dato valore positivo ε comunque piccolo, si può trovare un numero positivo δ (dipendente da ε) tale che la distanza di f(x) da L è minore di ε quando la distanza di x da l è minore di δ. Se L = 0 la funzione f si approssima a 0 per x che tende a l, ma nella definizione si evita appositamente di dire che il valore f(x) diventa infinitesimo.
Scompare allora l’idea del fluire, della tensione dinamica della variabile verso il suo limite, semplicemente perché le variabili, entro i confini disegnati da ε e da δ, non si muovono affatto, assumono soltanto i valori che a loro competono. L’immobilità prevale sul movimento.
Si può allora definire la velocità di un corpo in un istante t soltanto come il limite del rapporto tra lo spazio percorso e il tempo di percorrenza al tendere della variabile tempo all’istante t. Questo limite, un semplice numero, è la derivata dello spazio come funzione del tempo di percorrenza all’istante t. In questo modo si potevano evitare le «quantità evanescenti» concepite nei primi sviluppi del calcolo infinitesimale.
...
I numeri razionali e irrazionali, pensati come limiti di variabili, ereditavano la natura effettiva e reale di concetti fisici come la velocità e l’accelerazione. Negli stessi numeri si potevano ravvisare delle entità atomiche paritetiche ai punti della retta. Il movimento poteva essere interpretato attraverso le sole coordinate dello spazio-tempo, e quindi per via di successive posizioni fisse e puntuali. «La meccanica può spiegare il movimento solo attraverso l’immobilità».
Solamente nei numeri, era questa la conclusione importante, si trovava la realtà del continuo spazio-temporale. E i numeri che assolvevano a questo compito potevano essere sia razionali che irrazionali. Di più, l’esistenza dei numeri reali (razionali + irrazionali) sarebbe apparsa, dopo Weierstrass, l’effetto di una libera creazione del matematico, ancorché indotta da proprietà oggettive del corpo numerico. Quale migliore accordo tra pensiero e natura, tra libertà ed effettività?
...
ma la continuità geometrica era già di fatto concepita, grazie alle teorie di Cantor e di Dedekind, come un dominio di numeri attuali. Il disegno dell’aritmetizzazione dell’analisi aveva già atomizzato l’estensione continua. L’attualità poggia infine, nella teoria del continuo numerico, su entità atomiche definite, costituenti un sistema di divisioni reali, di eventi istantanei in relazione con altri eventi collocati in qualche punto del continuo. Tra numeri e punti si stabilisce assiomaticamente una corrispondenza biunivoca, e per il tramite dei numeri i punti dello spazio e gli istanti del tempo acquistano una nuova specie di realtà."
Altre considerazioni correlate:
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Roberto Natalini e il rapporto tra matematica e realtà
martedì, aprile 11, 2017
Giuro di dire tutta la verità: la logica e il diritto
A chi non è mai capitato di pensare che la formula giuridica che obbliga a dire tutta la verità, solo la verità e niente altro che la verità fosse un po' ridondante?
In realtà, questa formulazione serve per escludere i falsi negativi, e cioè che un colpevole sfugga alla condanna, o i falsi positivi, e cioè che un innocente la subisca.
Ecco come ne parlano Stefano Leonesi e Carlo Toffalori nel loro libro Logica a processo: da Aristotele a Perry Mason, in cui paragonano i concetti di coerenza e completezza della logica matematica a quelli della suddetta formula giuridica.
"Occorrerà che assiomi e regole di deduzione si rivelino così centrati e potenti da superare la prova dei fatti, e cioè:
• escludere dai teoremi qualsiasi contraddizione.
• garantire a ogni proposizione una soluzione, ovvero una dimostrazione o una confutazione.
Il primo requisito è, appunto, la coerenza, il secondo la completezza. Si vorrà poi, in riferimento al concetto tarskiano di verità, che un’affermazione finisca per essere provata se e solo se è suffragata appunto dai fatti, che dunque il sistema deduca tutto quello che corrisponde alla realtà e niente di quello che la smentisce. Per dirla in termini giuridici, si chiederà al sistema di dimostrare la verità: “tutta la verità” –la completezza –e “niente altro che la verità” –la coerenza. Come dire, per restare ancora nel campo della giustizia: escludere in un’indagine che un colpevole sfugga alla condanna, o che un innocente la subisca."
In realtà, questa formulazione serve per escludere i falsi negativi, e cioè che un colpevole sfugga alla condanna, o i falsi positivi, e cioè che un innocente la subisca.
"Occorrerà che assiomi e regole di deduzione si rivelino così centrati e potenti da superare la prova dei fatti, e cioè:
• escludere dai teoremi qualsiasi contraddizione.
• garantire a ogni proposizione una soluzione, ovvero una dimostrazione o una confutazione.
Il primo requisito è, appunto, la coerenza, il secondo la completezza. Si vorrà poi, in riferimento al concetto tarskiano di verità, che un’affermazione finisca per essere provata se e solo se è suffragata appunto dai fatti, che dunque il sistema deduca tutto quello che corrisponde alla realtà e niente di quello che la smentisce. Per dirla in termini giuridici, si chiederà al sistema di dimostrare la verità: “tutta la verità” –la completezza –e “niente altro che la verità” –la coerenza. Come dire, per restare ancora nel campo della giustizia: escludere in un’indagine che un colpevole sfugga alla condanna, o che un innocente la subisca."
lunedì, novembre 16, 2015
Il paradosso del mentitore: è davvero un paradosso?
Prima di tutto partiamo da qualche definizione.
Che cosa afferma il paradosso del mentitore nella sua forma classica?
il paradosso del mentitore nella formulazione classica di Epimenide di Creta afferma che «tutti i Cretesi sono bugiardi».
Che cos'è un paradosso?
Il termine può assumere diversi significati a seconda dei contesti. "Secondo la definizione che ne dà Mark Sainsbury, sarebbe «una conclusione evidentemente inaccettabile, che deriva da premesse evidentemente accettabili per mezzo di un ragionamento evidentemente accettabile»."
Ma, nel caso del paradosso del mentitore dovremmo trovarci più precisamente di fronte a un'antinomia.
Che cos'è un'antinomia?
"L'antinomia è un particolare tipo di paradosso che indica la compresenza di due affermazioni contraddittorie, ma che possono essere entrambe dimostrate o giustificate."
Ora vediamo perché il paradosso del mentitore nella formulazione classica non genera necessariamente la compresenza di due affermazioni contraddittorie.
Per mostrare che una proposizione è un'antinomia si parte solitamente dall'assunzione che la proposizione sia vera (o falsa) e si vede che cosa se ne può dedurre. Poi la si assume falsa (o vera se prima la si era considerata falsa) e si vede che cosa se ne può dedurre. Se le deduzioni sono in contraddizione tra di loro allora si può dire che ci troviamo di fronte a un'antinomia.
Dunque, se assumiamo che la proposizione del mentitore nella formulazione classica sia falsa allora sarebbe vera la sua negazione. E cioè che "esiste almeno un Cretese bugiardo". Ma quel bugiardo potrebbe essere proprio Epimenide. E in questo caso non c'è contraddizione. Perché Epimenide starebbe mentendo dicendo che «tutti i Cretesi sono bugiardi». E la cosa finirebbe lì. Non ci sarebbe alcuna contraddizione perché l'enunciato può essere semplicemente valutato come falso.
La contraddizione si produce invece se si assume che l'affermazione sia vera. Ma ciò non basta a produrre l'antinomia.
Quindi, se non ci sono errori nel ragionamento che ho descritto si può affermare che il paradosso del mentitore nella sua forma classica non è un'antinomia.
Per produrre l'antinomia la proposizione dovrebbe essere riformulata così: "io sono un bugiardo". Solo con tale versione della proposizione si entra nel circolo vizioso in cui la falsità implica la verità che implica la falsità che implica la verità e così via. In altre parole per produrre il paradosso si deve inserire un'autoreferenza di tipo più assoluto. Si deve passare cioè dall'autoreferenza su di un insieme a un'autoreferenza su di una singola entità. In termini più tecnici dobbiamo togliere il quantificatore universale e passare da una logica predicativa a una logica
proposizionale.
lunedì, novembre 09, 2015
I concetti indispensabili della matematica
- Dunque tu vorresti sapere quali siano i concetti indispensabili della matematica. Ma in che senso?
- Beh, quei concetti matematici di cui non si potrebbe fare a meno.
- Uhm, bella domanda!
- Potresti immaginare, ad esempio, di avere solo un paio d'ore a disposizione per insegnarmi qualcosa di matematica. Ecco, che cosa mi insegneresti?
- Beh, dipenderebbe dalle tue conoscenze di partenza.
- Supponiamo che io non sappia nulla di matematica.
- Supposizione un po' difficile da accettare, visto che anche i bambini, prima di saper leggere, solitamente sanno già contare. Dovremmo definirla un po' meglio. Intendi una totale assenza di concetti matematici? Oppure un'assenza di concetti matematici più avanzati? Mi spiego meglio. Dovrei supporre che tu non sia a conoscenza neppure del concetto di numero, come i parlanti di quelle lingue che come numeri hanno un soltanto "uno", "due", "molti" (o addirittura soltanto "pochi" e "molti")? Oppure che tu sia a conoscenza, almeno a livello pratico, dei concetti matematici di base? E cioè, che tu sia almeno in grado di eseguire le quattro operazioni con numeri interi e frazioni?
- ... Boh! ... facciamo ... assenza totale?
- Sai, sto pensando che forse la distinzione, alla fine, non è poi così importante. Supponendo che il totale analfabeta matematico, in questo caso tu (senza offesa eh; si tratta solo di supposizioni), sia capace di e interessato ad apprendere, forse gli insegnerei le stesse cose che insegnerei a chi sia già a conoscenza dei concetti di base a livello pratico. E cioè: il ragionamento deduttivo, che può essere insegnato abbastanza agevolmente attraverso la sua formalizzazione nel linguaggio della logica matematica; e il concetto di numero a partire dal concetto di insieme.
- Bene. Ti ascolto.
- Forse partirei da semplici concetti di logica introducendoli in modo abbastanza informale. Tipo: un enunciato è una frase di cui si possa dire, senza ambiguità, se sia vera o se sia falsa.
- Come, ad esempio, "oggi è bel tempo"?
- Beh, la definizione di "bel tempo" è qualcosa di piuttosto soggettivo. Ciò che viene chiamato "bel tempo" qui nella patria di Hilbert non credo coincida con la definizione che se ne dà dalle tue parti. Diciamo che un esempio un po' più preciso potrebbe essere "sta piovendo".
- Ho capito, e poi?
- Poi dovrei introdurre i connettivi logici.
- E cioè?
- Dei semplici connettivi logici sono, ad esempio, le congiunzioni "o" e "e" e l'avverbio "non".
- E quindi?
- Quindi combinando gli enunciati attraverso questi connettivi potremo costruire enunciati più complessi.
- Ho capito. Tipo: "piove" e "io mangio la pasta ".
- Esatto. E poi per stabilire i valori di verità degli enunciati composti possiamo definire le seguenti tabelle di verità.
- E ciò starebbe a significare che ("piove" e "io mangio la pasta") è vero se è contemporaneamente vero che "piove" e "io mangio la pasta"?
- Precisamente.
- Ma è ovvio.
- Cero che è ovvio! Parliamo di Logica! Però credo che già questa sia meno ovvia.
- Cioè, mi stai dicendo che ("piove" oppure "usciamo") è falso solo se è non "piove" e non "usciamo" e vera anche quando piove e noi usciamo lo stesso?
- Esatto.
- Quindi è come il "vel" latino.
- Sì, si chiama disgiunzione inclusiva. È più interessante della congiunzione, no? Ma possiamo costruire un connettivo ancora più interessante: l'implicazione logica: "se" X "allora " Y.
- Tipo: se "piove" allora "non usciamo"?
- Sì! Ti prometto che se piove non usciamo.
- Ma adesso non sta piovendo. Perché allora non usciamo?
- Perché il connettivo è definito come non(A e non B). Cioè, l'unica condizione non ammessa è che si verifichi A e allo stesso tempo non si verifichi B.
- Quindi, l'unica condizione non ammessa sarebbe che noi usciamo nonostante la pioggia ma non sussisterebbe alcun obbligo nel caso di assenza di pioggia? Vuoi dirmi che se conosco meglio la logica corro meno rischi di farmi fregare?
- Beh, direi proprio di sì. Ma che stai scrivendo?
- La tavola di verità dell'implicazione. Così non mi farò fregare di nuovo.
- Bravissima!
- Quindi? È tutta qui la logica?
- Beh, per quanto riguarda i connettivi della logica proposizionale potrebbe pure bastare. Ce ne sono altri ma anche solo questi sarebbero sufficienti. Gli altri te li puoi guardare con calma. Quello che manca sono gli assiomi:
A → (B → A)
(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
(¬B → ¬A) → ((¬B → A) → B)
- Beh, quei concetti matematici di cui non si potrebbe fare a meno.
- Uhm, bella domanda!
- Potresti immaginare, ad esempio, di avere solo un paio d'ore a disposizione per insegnarmi qualcosa di matematica. Ecco, che cosa mi insegneresti?
- Beh, dipenderebbe dalle tue conoscenze di partenza.
- Supponiamo che io non sappia nulla di matematica.
- ... Boh! ... facciamo ... assenza totale?
- Sai, sto pensando che forse la distinzione, alla fine, non è poi così importante. Supponendo che il totale analfabeta matematico, in questo caso tu (senza offesa eh; si tratta solo di supposizioni), sia capace di e interessato ad apprendere, forse gli insegnerei le stesse cose che insegnerei a chi sia già a conoscenza dei concetti di base a livello pratico. E cioè: il ragionamento deduttivo, che può essere insegnato abbastanza agevolmente attraverso la sua formalizzazione nel linguaggio della logica matematica; e il concetto di numero a partire dal concetto di insieme.
- Bene. Ti ascolto.
- Come, ad esempio, "oggi è bel tempo"?
- Beh, la definizione di "bel tempo" è qualcosa di piuttosto soggettivo. Ciò che viene chiamato "bel tempo" qui nella patria di Hilbert non credo coincida con la definizione che se ne dà dalle tue parti. Diciamo che un esempio un po' più preciso potrebbe essere "sta piovendo".
- Ho capito, e poi?
- Poi dovrei introdurre i connettivi logici.
- E cioè?
- Dei semplici connettivi logici sono, ad esempio, le congiunzioni "o" e "e" e l'avverbio "non".
- E quindi?
- Quindi combinando gli enunciati attraverso questi connettivi potremo costruire enunciati più complessi.
- Ho capito. Tipo: "piove" e "io mangio la pasta ".
- Esatto. E poi per stabilire i valori di verità degli enunciati composti possiamo definire le seguenti tabelle di verità.
| A | B | A e B |
| Falso | Falso | Falso |
| Falso | Vero | Falso |
| Vero | Falso | Falso |
| Vero | Vero | Vero |
- E ciò starebbe a significare che ("piove" e "io mangio la pasta") è vero se è contemporaneamente vero che "piove" e "io mangio la pasta"?
- Precisamente.
- Ma è ovvio.
- Cero che è ovvio! Parliamo di Logica! Però credo che già questa sia meno ovvia.
| A | B | A o B |
| Falso | Falso | Falso |
| Falso | Vero | Vero |
| Vero | Falso | Vero |
| Vero | Vero | Vero |
- Cioè, mi stai dicendo che ("piove" oppure "usciamo") è falso solo se è non "piove" e non "usciamo" e vera anche quando piove e noi usciamo lo stesso?
- Esatto.
- Quindi è come il "vel" latino.
- Sì, si chiama disgiunzione inclusiva. È più interessante della congiunzione, no? Ma possiamo costruire un connettivo ancora più interessante: l'implicazione logica: "se" X "allora " Y.
- Tipo: se "piove" allora "non usciamo"?
- Sì! Ti prometto che se piove non usciamo.
- Ma adesso non sta piovendo. Perché allora non usciamo?
- Perché il connettivo è definito come non(A e non B). Cioè, l'unica condizione non ammessa è che si verifichi A e allo stesso tempo non si verifichi B.
- Quindi, l'unica condizione non ammessa sarebbe che noi usciamo nonostante la pioggia ma non sussisterebbe alcun obbligo nel caso di assenza di pioggia? Vuoi dirmi che se conosco meglio la logica corro meno rischi di farmi fregare?
- Beh, direi proprio di sì. Ma che stai scrivendo?
- La tavola di verità dell'implicazione. Così non mi farò fregare di nuovo.
| A | B | A → B |
| Falso | Falso | Vero |
| Falso | Vero | Vero |
| Vero | Falso | Falso |
| Vero | Vero | Vero |
- Bravissima!
- Quindi? È tutta qui la logica?
- Beh, per quanto riguarda i connettivi della logica proposizionale potrebbe pure bastare. Ce ne sono altri ma anche solo questi sarebbero sufficienti. Gli altri te li puoi guardare con calma. Quello che manca sono gli assiomi:
A → (B → A)
(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
(¬B → ¬A) → ((¬B → A) → B)
La regola di inferenza, che poi, nel caso della logica proposizionale, è una sola: il modus ponens. Questa regola ti dice che se è vero che A → B e se A è vera allora anche B è vera.
E, infine, la definizione di dimostrazione di una formula F. E cioè una sequenza di formule F1, F2, ..., Fn tale che:
F = F1 e ogni Fi (1 < i < n) o è un assioma, o è ottenuta da un assioma per sostituzione oppure è ottenuta per Modus ponens da due formule Fj e Fk con j < i e k < i.
Ma i dettagli tecnici dovrai guardarteli da sola, ad esempio qui.
Ecco, quello che ti ho spiegato finora è già un buon punto di partenza per il primo concetto indispensabile della matematica.
- Bene. E per quanto riguarda l'altro concetto indispensabile? Quello del numero a partire dal concetto di insieme?
- Beh, quello lo vedremo la prossima volta.
E, infine, la definizione di dimostrazione di una formula F. E cioè una sequenza di formule F1, F2, ..., Fn tale che:
F = F1 e ogni Fi (1 < i < n) o è un assioma, o è ottenuta da un assioma per sostituzione oppure è ottenuta per Modus ponens da due formule Fj e Fk con j < i e k < i.
Ma i dettagli tecnici dovrai guardarteli da sola, ad esempio qui.
Ecco, quello che ti ho spiegato finora è già un buon punto di partenza per il primo concetto indispensabile della matematica.
- Bene. E per quanto riguarda l'altro concetto indispensabile? Quello del numero a partire dal concetto di insieme?
- Beh, quello lo vedremo la prossima volta.
giovedì, agosto 13, 2015
Quando i teologi si cimentano con la Logica Matematica
Per i curiosi non appassionati riporto questa citazione.
... penso converrete tutti che la moltiplicazione dei pani e dei pesci e il dogma della Trinità non valgono come “proprietà aritmetica di base”, il che significa che il teorema non può semplicemente essere applicato. Quanto al resto, mi sta anche bene che l’intelletto umano possa, voglia e debba uscire dalla natura per trovare le ragioni ultime che cerca nella soprannatura: ma di nuovo tutto questo non vuol dire che Gödel dovette uscire da un sistema logico coerente per dimostrare almeno una proposizione elaborata in quello stesso sistema logico. Gödel non è uscito da nessuna parte né ha “dimostrato” nulla, al più affermava che occorreva aggiungere la proposizione come assioma.
martedì, ottobre 28, 2014
Leopardi e il creazionismo
Ho appena letto su Qfwwwfq questo interessante articolo sul giovane Leopardi: IL GIOVANE METAFISICO. Ne rilancio qualche passaggio.
«Nelle
dissertazioni il "giovane favoloso" sostiene una serie di
luoghi comuni della metafisica tradizionale che di lì a poco abbandonerà
come fossero favole infantili, e si tratta esattamente di alcuni di
quei luoghi comuni che modellano ancora oggi le vie neurali di gran
parte dell'umanità,
nonché di molti di quei filosofi idealisti e particolarmente ostili alla
tecnica e alle scienze della natura che, con sottile e sottovalutata
contraddizione, godono di popolarità persino in rete e sui media. I due
luoghi comuni principali sono il dualismo mente-corpo di sapore
platonico-cristiano-cartesiano e l'idea tomistico-lebniziana del disegno
intelligente e dell'essere perfettissimo. Il ragazzino erudito innesta i contenuti filosofico-religiosi dei suoi studi sulla particolare architettura mentale del Sapiens, il quale è stato dotato dall'evoluzione di
preziosi dispositivi iperattivi di attribuzione di intenzionalità e di
riconoscimento di agenti da cui, secondo alcuni studi neurocognitivi
recenti, deriverebbero come sottoprodotti gli spiriti,
i folletti, le anime, gli dèi e i divini architetti delle varie
culture. Insomma, è come se queste dissertazioni offrissero un compendio
di alcuni aspetti "infantili" e innati del pensiero umano che sono una
parte di quella che oggi viene chiamata psicologia ingenua. A
Leopardi, contrariamente a quanto accade alla stragrande maggioranza
degli esseri umani, bastò poco tempo per rendersi conto che in realtà
non ci sono né anime immateriali, immortali e assolutamente libere né disegni intelligenti di un essere
perfettissimo.
Nel
mare di stupidaggini in cui la mente giovanile di Giacomino naufragava
dolcemente, qualche buon pesce, persino più buono di quanto lui stesso
potesse immaginare, è tuttavia finito nella rete. Si tratta di due piste
di ricerca poco ortodosse (rispetto al rigido cattolicesimo familiare)
che lui ha intravisto e coraggiosamente imboccato, percorrendone i
tratti iniziali e ancora acerbi: una spiegazione neuroscientifica dei
sogni che rigetta qualsiasi fantasia oniromantica e una teoria
gradualista dell'"anima" e dello "spirito" che, per quanto riguarda
l'attribuzione di una "mente cosciente" agli animali (come si direbbe
oggi), lo porta oltre il paradigma strettamente cartesiano e lo avvicina
ad approcci contemporanei particolarmente sofisticati come quello di un
Hofstadter...»
giovedì, dicembre 29, 2011
Umberto Eco e Matteo Salvini a «L’infedele»: su leghisti e razzismo
Riprendo il post di Giovanna Cosenza del 21/12 (Umberto Eco e Matteo Salvini a «L’infedele»: su leghisti e razzismo) che ha generato un'interessante discussione. Riposto qui alcuni stralci del post iniziale e della discussione.
...
27122011
28122011
MarcoT
29122011
Dioniso
29122011
giovannacosenza
Per la versione completa di post e discussione: Umberto Eco e Matteo Salvini a «L’infedele»: su leghisti e razzismo.
Lunedì sera (19/12), in chiusura di un’intervista a «L’infedele», Umberto Eco dice una frase che immediatamente suscita la protesta di Matteo Salvini, della Lega, presente in studio.
Dice Eco: «Ogni posizione politica crea i propri folli marginali. Se in Italia esiste la Lega, poteva esistere anche Casseri».
Al che Salvini subito si altera: ....
Ora, di solito Eco pesa bene le parole che usa. E anche in questo caso l’ha fatto.
...
Eco ha detto che, all’interno dello sfondo culturale in cui la Lega si muove, possono nascere forme di «follia marginale» come quella di Casseri, il che non solo è vero, ma qualifica il fenomeno come «marginale», e dunque fa il contrario di una generalizzazione, che vuol dire attribuire alla totalità di un insieme le caratteristiche di un suo sottoinsieme o, peggio, di un solo esemplare di quell'insieme.
...In altre parole, se Eco fosse stato un politico o un giornalista, avrebbe dovuto evitare la frase o fare una ulteriore precisazione. Aggiungere una spiegazione. Ma nella sua posizione non credo debba spiegare nulla. Basta semplicemente rivedere l’intervista.
Commenti...
Eco ha detto che, all’interno dello sfondo culturale in cui la Lega si muove, possono nascere forme di «follia marginale» come quella di Casseri, il che non solo è vero, ma qualifica il fenomeno come «marginale», e dunque fa il contrario di una generalizzazione, che vuol dire attribuire alla totalità di un insieme le caratteristiche di un suo sottoinsieme o, peggio, di un solo esemplare di quell'insieme.
...In altre parole, se Eco fosse stato un politico o un giornalista, avrebbe dovuto evitare la frase o fare una ulteriore precisazione. Aggiungere una spiegazione. Ma nella sua posizione non credo debba spiegare nulla. Basta semplicemente rivedere l’intervista.
...
MarcoT
Per capire la posizione di Eco, io proporrei di tenere ben distinti due i piani:
1) quello che ha capito Salvini
2) quello che voleva dire Eco
1. Salvini ha creduto di fare un’inferenza logica, ma, come ha rilevato Giovanna, si è sbagliato. Al massimo, quello che lui ha capito si fonda su un’implicatura conversazionale alla Grice, che è comunque distorta, perché Eco non voleva suggerire che gli elettori leghisti siano come Casseri (su questo tornerò nel secondo punto). ...
2. Cosa voleva dire Eco? Io ritengo che per capire il modo in cui Eco intende il rapporto Lega/Casseri sia utile rileggere le pagine 135 (e dintorni) e 230 (e dintorni) del “Nome della rosa”, dove si parla rispettivamente di “sillogismo pratico” e di “perfido sillogismo”. Eco, per bocca dell’abate (nel primo caso) e di Guglielmo (nel secondo) discute il rapporto tra francescani e dolciniani. Ebbene, lì è chiaro che i dolciniani sono degli esempi perfetti di “folli marginali”, cioè individui che dalla premessa che la chiesa debba essere povera traggono la conclusione delirante che tutti i preti ricchi devono essere massacrati. E si noti che in quelle pagine Eco alludeva chiarissimamente al rapporto tra sinistra istituzionale e brigate rosse, sicché il rapporto che lui suggerisce oggi tra Lega e pazzi criminali come Casseri diventa più chiaro. A mio parere, in tutti e tre i casi Eco raccomanda ai “maestri” (francescani, comunisti e leghisti) di stare attenti a come formulano le loro dottrine, per evitare che i seguaci paranoici entrino nel gorgo cognitivo del “perfido sillogismo” e si mettano a fare fuoco all’impazzata.
Per la versione completa dell'interessante commento di MarcoT: Eco e la logica zoppa della Lega
1) quello che ha capito Salvini
2) quello che voleva dire Eco
1. Salvini ha creduto di fare un’inferenza logica, ma, come ha rilevato Giovanna, si è sbagliato. Al massimo, quello che lui ha capito si fonda su un’implicatura conversazionale alla Grice, che è comunque distorta, perché Eco non voleva suggerire che gli elettori leghisti siano come Casseri (su questo tornerò nel secondo punto). ...
2. Cosa voleva dire Eco? Io ritengo che per capire il modo in cui Eco intende il rapporto Lega/Casseri sia utile rileggere le pagine 135 (e dintorni) e 230 (e dintorni) del “Nome della rosa”, dove si parla rispettivamente di “sillogismo pratico” e di “perfido sillogismo”. Eco, per bocca dell’abate (nel primo caso) e di Guglielmo (nel secondo) discute il rapporto tra francescani e dolciniani. Ebbene, lì è chiaro che i dolciniani sono degli esempi perfetti di “folli marginali”, cioè individui che dalla premessa che la chiesa debba essere povera traggono la conclusione delirante che tutti i preti ricchi devono essere massacrati. E si noti che in quelle pagine Eco alludeva chiarissimamente al rapporto tra sinistra istituzionale e brigate rosse, sicché il rapporto che lui suggerisce oggi tra Lega e pazzi criminali come Casseri diventa più chiaro. A mio parere, in tutti e tre i casi Eco raccomanda ai “maestri” (francescani, comunisti e leghisti) di stare attenti a come formulano le loro dottrine, per evitare che i seguaci paranoici entrino nel gorgo cognitivo del “perfido sillogismo” e si mettano a fare fuoco all’impazzata.
Per la versione completa dell'interessante commento di MarcoT: Eco e la logica zoppa della Lega
Dioniso
luziferszorn, giusto per essere più chiari. Volevo far capire che Eco è un mio mito e la lega è agli antipodi della mia visione politico/sociale. Ma ciò non basta a farmi accettare qualsiasi cosa Eco dica a proposito della lega anche se quello che dice non lo capisco. Così ho voluto sfruttare l’opportunità di questa interessante discussione per capire meglio.
MarcoT, grazie. La tua interpretazione mi sembra la più chiara, lucida e comprensibile. E dando uno sguardo al tuo blog, che non conoscevo, si capisce perché.
Attraverso questa discussione sto imparando cose interessanti. Come dicevo, conosco un po’ di logica, soprattutto dalla prospettiva matematica, ma ignoravo il lavoro di Grice. Qualcuno potrebbe consigliarmi qualche testo (anche in rete) per avere un’idea della sua teoria?
Attraverso questa discussione sto imparando cose interessanti. Come dicevo, conosco un po’ di logica, soprattutto dalla prospettiva matematica, ma ignoravo il lavoro di Grice. Qualcuno potrebbe consigliarmi qualche testo (anche in rete) per avere un’idea della sua teoria?
Una considerazione conclusiva che mi viene in mente è la seguente. Se per trovare un’interpretazione plausibile delle parole di Eco è stato necessario scomodare la regola della quantità di Grice il “sillogismo pratico” e il “perfido sillogismo”, che cosa può aver capito l’ascoltatore medio?
giovannacosenza
Dioniso: su Grice nel 2002 ho pubblicato io un intero libro con Bompiani (ndD La pragmatica di Paul Grice. Intenzioni, significato, comunicazione). Non è per citarmi, ma è l’unica introduzione in italiano che c’è. 
È un libro accademico, ma comunque è scritto in modo chiaro. Lo trovi seguendo il link «Pubblicazioni», nel menù in alto.
È un libro accademico, ma comunque è scritto in modo chiaro. Lo trovi seguendo il link «Pubblicazioni», nel menù in alto.
mercoledì, aprile 27, 2011
Gli eletti dal popolo e il popolo degli eletti: un circolo vizioso
Il mantra dell'attuale maggioranza parlamentare è lo stesso da 17 anni. E lo si può sintetizzare con una sillogismo:
Nessun giudice può giudicare chi è stato eletto dal popolo
Berlusconi è espressione della volontà del popolo
ergo...
Ieri il soggetto della premessa minore di questo sillogismo ha affermato: "Se fossimo andati oggi al referendum, non avremmo avuto il nucleare in Italia per tanti anni. Per questo abbiamo deciso di adottare la moratoria."
Ma allora, se nessuno può giudicare chi è stato eletto dal popolo e se a questo popolo degli eletti non si lasciano giudicare le azioni dei propri eletti, dove sta la via d'uscita?
Nessun giudice può giudicare chi è stato eletto dal popolo
Berlusconi è espressione della volontà del popolo
ergo...
Ieri il soggetto della premessa minore di questo sillogismo ha affermato: "Se fossimo andati oggi al referendum, non avremmo avuto il nucleare in Italia per tanti anni. Per questo abbiamo deciso di adottare la moratoria."
Ma allora, se nessuno può giudicare chi è stato eletto dal popolo e se a questo popolo degli eletti non si lasciano giudicare le azioni dei propri eletti, dove sta la via d'uscita?
martedì, marzo 29, 2011
Un altro dioniso è possibile? Condizionali controfattuali e relativa semantica
È giusto supporre che ognuno di noi abbia consapevolezza della propria esistenza? Io sono consapevole della mia esistenza? Sono consapevole del me stesso che esiste?
Prima di tutto dovrei definire chi è "me stesso". Sono l'io di questo momento in quanto Dioniso? Oppure in quanto alter-ego di Dioniso?
Ma quando e se qualcuno leggerà ciò che sto scrivendo, io non sarò più l'io di questo momento; così come diceva Battiato relativamente al bagno nel fiume... o forse lo diceva qualcun altro...?
Vabbè mettiamoci d'accordo e diciamo che il "me stesso" coincide con Dioniso. Partendo da queste premesse potrei avere anche la consapevolezza della possibile esistenza di un altro me stesso?
Potrei cioè spingermi ad immaginare un altro Dioniso? E se sì, quanto diverso da me?
Io, come Dioniso, nasco martedì 1° agosto 2006. Dopo una gestazione di quasi nove mesi esatti (nove mesi meno una settimana per la precisione) da un evento rifondante, che chiamerò R, della vita del mio alter-ego. E la mia nascita fu fortemente influenzata da quell'evento. È quindi molto probabile che senza quell'evento rifondante io non sarei mai nato. O almeno non sarei stato il Dioniso di adesso. Posso quindi facilmente immaginare una serie di mondi possibili in cui o io non esisto oppure sono diverso dal Dioniso di adesso.
Vediamo qualche esempio. Indicando con Ma il mondo attuale potrei immaginare altri mondi in cui probabilmente non sono mai nato in quanto:
Potremmo rappresentare i suddetti mondi possibili in questo schemino:
Dove con M1 - M7 indico i mondi descritti nei punti 1-7 della precedente lista (Ma potrei anche indicarlo con M0). A questo punto vi chiederete, ma che cosa rappresentano le linee? Ad esempio, perché il mondo M3 ed il mondo M4 sono connessi da una linea? Semplice! Quella linea significa che a partire dalla realtà del mondo M3 è possibile concepire la realtà del mondo M4. Mentre non esiste una linea che congiunga il mondo Ma al mondo M4. Infatti se in Ma non esiste il trombonio allora da Ma non è concepibile un mondo in cui un gruppo di ricercatori abbia sviluppato una tecnica che usa il trombonio. Sarà necessario allora il mondo intermedio M3 che è invece concepibile a partire da Ma e da cui è concepibile M4. Nota a margine: dall'osservazione precedente segue che, in questo specifico caso, la nostra relazione di accessibilità non è transitiva.
A questo punto che cosa significherebbe valutare la verità di questa affermazione: ND = "Se R non fosse occorso allora Dioniso non esisterebbe"? Significherebbe andare a scegliere, tra gli infiniti mondi concepibili a partire da quello attuale, quel mondo più simile a quello attuale Ma in cui R non è occorso. E lì porsi la domanda: esiste Dioniso in questo mondo? Se la risposta è no, allora l'affermazione ND è vera. Detto in altri termini: tra tutti i mondi possibili in cui R non è occorso ce ne sarà almeno uno in cui Dioniso non esiste. Se questo mondo è più simile al mondo attuale rispetto ad ogni altro mondo in cui R non è occorso eppure Dioniso esiste, allora potrò dire che ND è vera.
Una volta definita la sintassi possiamo definire la semantica per la logica condizionale nel seguente modo. Indicando con M l'insieme di tutti i mondi possibili e con L l'insieme di tutte le proposizioni, definiamo la funzione f che ad ogni mondo Mi di M e ad ogni proposizione P associa il mondo Mj più vicino ad Mi in cui P è vera. Espresso in termini più formali:
In questa semantica P > Q è vera in Mi sse Q è vera in f(Mi, P) = Mj
Per approfondimenti
Possible world semantics, Notes on conditional semantics, Counterfactual conditional, Indicative conditional, Relevance logic, Implicazione logica, Mondi possibili e supposizioni controfattuali
Prima di tutto dovrei definire chi è "me stesso". Sono l'io di questo momento in quanto Dioniso? Oppure in quanto alter-ego di Dioniso?
Ma quando e se qualcuno leggerà ciò che sto scrivendo, io non sarò più l'io di questo momento; così come diceva Battiato relativamente al bagno nel fiume... o forse lo diceva qualcun altro...?
Potrei cioè spingermi ad immaginare un altro Dioniso? E se sì, quanto diverso da me?
Io, come Dioniso, nasco martedì 1° agosto 2006. Dopo una gestazione di quasi nove mesi esatti (nove mesi meno una settimana per la precisione) da un evento rifondante, che chiamerò R, della vita del mio alter-ego. E la mia nascita fu fortemente influenzata da quell'evento. È quindi molto probabile che senza quell'evento rifondante io non sarei mai nato. O almeno non sarei stato il Dioniso di adesso. Posso quindi facilmente immaginare una serie di mondi possibili in cui o io non esisto oppure sono diverso dal Dioniso di adesso.
Vediamo qualche esempio. Indicando con Ma il mondo attuale potrei immaginare altri mondi in cui probabilmente non sono mai nato in quanto:
- R non è mai occorso
- R non ha prodotto i risultati sperati per il mio alter ego. (Questo però è un mondo estremo, in quanto in quel mondo non esisterebbe più neppure il mio alter ego.)
- R è occorso ma esiste una sostanza chiamata trombonio inesistente in Ma.
Ma in questo mondo intermedio potrei anche essere nato in quanto R potrebbe avere avuto esiti molto simili a quelli che ha avuto in Ma. Esiti diversi li avrebbe invece sicuramente avuti se aggiungiamo la seguente ipotesi. - Un gruppo di ricercatori usando il trombonio ha sviluppato una tecnica che rende semplicissima la risoluzione di R.
- il mio alter ego si è scocciato di me.
- un evento RC ha annullato gli effetti di R.
- ho un volto diverso in quanto il mio alter ego non ha visitato il museo di Lipari durante il viaggio alle Eolie del 2006.
Potremmo rappresentare i suddetti mondi possibili in questo schemino:
Dove con M1 - M7 indico i mondi descritti nei punti 1-7 della precedente lista (Ma potrei anche indicarlo con M0). A questo punto vi chiederete, ma che cosa rappresentano le linee? Ad esempio, perché il mondo M3 ed il mondo M4 sono connessi da una linea? Semplice! Quella linea significa che a partire dalla realtà del mondo M3 è possibile concepire la realtà del mondo M4. Mentre non esiste una linea che congiunga il mondo Ma al mondo M4. Infatti se in Ma non esiste il trombonio allora da Ma non è concepibile un mondo in cui un gruppo di ricercatori abbia sviluppato una tecnica che usa il trombonio. Sarà necessario allora il mondo intermedio M3 che è invece concepibile a partire da Ma e da cui è concepibile M4. Nota a margine: dall'osservazione precedente segue che, in questo specifico caso, la nostra relazione di accessibilità non è transitiva.
Ora, se ci si limita a considerare solo l'accessibilità tra mondi allora si è nel dominio della Logica Modale. E in quel dominio ci si può interrogare solo sulle proprietà della relazione di accessibilità quali appunto la transitività, la simmetria, la riflessività ed altre, e come tali proprietà si riflettano nelle rispettiva sintassi (per una definizione di sintassi e semantica di un sistema di Logica matematica si veda Il mondo finirà nel 2012? Una questione di Logica modale? - quarta parte).
Potremmo però anche spingerci a chiederci quanto questi mondi Mi - con i che può variare da 1 a 7 - siano distanti dal mondo attuale Ma. Ad esempio è più distante il mondo in cui io non esisto? Oppure il mondo in cui il mio alter ego non esiste? Personalmente tenderei a dire altro ma un irrefrenabile forza interiore mi spinge a dire che è più vicino, o detto in altri termini più simile, al mondo attuale il mondo in cui io non esisto. (Detto tra noi, quando percepisco queste irrefrenabili forze interiori mi viene un po' da mettere in discussione il principio del libero arbitrio). Possiamo quindi definire intuitivamente una nozione di distanza tra mondi.
A questo punto che cosa significherebbe valutare la verità di questa affermazione: ND = "Se R non fosse occorso allora Dioniso non esisterebbe"? Significherebbe andare a scegliere, tra gli infiniti mondi concepibili a partire da quello attuale, quel mondo più simile a quello attuale Ma in cui R non è occorso. E lì porsi la domanda: esiste Dioniso in questo mondo? Se la risposta è no, allora l'affermazione ND è vera. Detto in altri termini: tra tutti i mondi possibili in cui R non è occorso ce ne sarà almeno uno in cui Dioniso non esiste. Se questo mondo è più simile al mondo attuale rispetto ad ogni altro mondo in cui R non è occorso eppure Dioniso esiste, allora potrò dire che ND è vera.
Espressa in modo un po' un po' più formale ma molto semplificato, la sintassi per la logica condizionale può essere definita introducendo, a fianco dell'operatore di implicazione classico →, un nuovo operatore di implicazione condizionale >. Date due proposizioni P e Q l'operatore di implicazione classico (o materiale)
P → Q verrà letto come se P è vera allora Q è vera. Mentre l'operatore di implicazione condizionale (o controfattuale)
P > Q verrà letto come se P si fosse verificata allora Q si sarebbe verificata.
P → Q verrà letto come se P è vera allora Q è vera. Mentre l'operatore di implicazione condizionale (o controfattuale)
P > Q verrà letto come se P si fosse verificata allora Q si sarebbe verificata.
Una volta definita la sintassi possiamo definire la semantica per la logica condizionale nel seguente modo. Indicando con M l'insieme di tutti i mondi possibili e con L l'insieme di tutte le proposizioni, definiamo la funzione f che ad ogni mondo Mi di M e ad ogni proposizione P associa il mondo Mj più vicino ad Mi in cui P è vera. Espresso in termini più formali:
f: M x L → M : f(Mi, P) = Mj
In questa semantica P > Q è vera in Mi sse Q è vera in f(Mi, P) = Mj
Per approfondimenti
Possible world semantics, Notes on conditional semantics, Counterfactual conditional, Indicative conditional, Relevance logic, Implicazione logica, Mondi possibili e supposizioni controfattuali
venerdì, marzo 25, 2011
Centrali nucleari e ragionamento induttivo
Bertrand Russell usò una celebre metafora per descrivere efficacemente il ragionamento induttivo.
Il tacchino aveva induttivamente concluso che ogni giorno alle nove un uomo gli avrebbe amorevolmente servito il pasto. Rimase estremamente sorpreso quando alla vigilia di Natale la sua conclusione induttiva venne barbaramente disattesa.
Come disse l'allevatore addentando una coscia: "Loggica vorrebbe..... Ma mi moje no!"
Ma allora, è meglio ragionare come il tacchino induttivista? Oppure esplorare anche il pensiero del maiale abduttivista?
Come disse l'allevatore addentando una coscia: "Loggica vorrebbe..... Ma mi moje no!"
Ma allora, è meglio ragionare come il tacchino induttivista? Oppure esplorare anche il pensiero del maiale abduttivista?
venerdì, dicembre 03, 2010
La Nasa, il batterio alieno e le fallacie de "La Stampa"
Su Radio Tre Scienza di oggi si parlava della scoperta del batterio capace di sopravvivere all’arsenico. Una domanda che mi sono posto è: bisognerà aggiornare l'albero della vita adesso?
Per curiosità sono andato a cercare altre informazioni con Google e ho trovato questo articolo de "La Stampa":
Ma la cosa più interessante è che se provate a premere il pulsantino di condivisione per Facebook, il titolo si trasforma in:
Per curiosità sono andato a cercare altre informazioni con Google e ho trovato questo articolo de "La Stampa":
La Nasa: scoperto un batterio che dimostra l'esistenza della vita aliena
Se per "alieno" si intende "extraterrestre" già questo titolo di per sé pecca della fallacia del non sequitur. Non è affatto vero che la scoperta dimostri l'esistenza della vita aliena e non è neppure vero che "potrebbe dimostrare l’esistenza degli alieni", come più prudentemente viene scritto nell'articolo. La scoperta può semmai condurci ad un nuovo stato di conoscenze che forse ci porterà ad aumentare la nostra probabilità soggettiva relativa all'evento "esistenza di forme di vita extraterrestri".Ma la cosa più interessante è che se provate a premere il pulsantino di condivisione per Facebook, il titolo si trasforma in:
Nasa, scoperta una forma di vita extraterrestre - LASTAMPA.it
E questo è un vero e proprio ossimoro! Come si fa a dichiarare extraterrestre una forma di vita che si è sviluppata sulla Terra? Da quanto ho capito il batterio non proviene da meteoriti o materiale extraterrestre.mercoledì, luglio 28, 2010
Chi vincerà il mondiale del 2014? Una questione di Logica intuizionista? - Appendice 2
Nell'appendice numero uno dicevamo che tra le principali differenze della Logica intuizionista rispetto alla Logica classica c'è sia la non validità del principio del terzo escluso che la non validità dell'equivalenza tra affermazione e doppia negazione (I ↔ ¬¬I).Usando quindi gli strumenti della Logica intuizionista, non sì potrà ad esempio dedurre la profezia Italia '14 (P="o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014").
Inoltre, usando l'intuito, molti di voi probabilmente direbbero che affermare che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 è equivalente a dire che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014.
O detto in termini simbolici:
I ↔ ¬¬I
Invece nella Logica intuizionista, dal fatto che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 si potrà sì dedurre che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014 ( I → ¬¬I ), ma non vale il viceversa. Cioè dal fatto che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014 non si potrà dedurre che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 (¬¬I → I).
A questo punto risulta sicuramente interessante vedere molto brevemente qualche cenno di semantica per la Logica intuizionista. È infatti grazie ad essa che possono essere verificate le suddette affermazioni.
Il primo a fornire una semantica per la Logica intuizionista fu Heyting, un allievo di Brouwer.
In modo simile alla semantica per la Logica proposizionale classica, in cui l'algebra booleana viene usata per stabilire se una formula sia vera o falsa, Heyting pensò di introdurre un nuovo tipo di algebra, chiamata in seguito algebra di Heyting, per stabilire se una formula sia vera o falsa nell'ambito della Logica intuizionista.
La Logica proposizionale classica, come la maggior parte dei sistemi di Logica matematica, è costituita da una parte sintattica ed una parte semantica.La parte sintattica è quella che si occupa di definire la corretta struttura delle formule; e nella quale si include di solito anche l'apparato deduttivo che definisce gli assiomi e le regole che consentono di dedurre i teoremi a partire dagli assiomi.
Mentre la parte semantica, che risulta di solito più semplice ed intuitiva, è quella che si occupa di definire il significato dei simboli.
Per definire una semantica della Logica proposizionale classica si può partire ad esempio da una funzione di valutazione che va dall'insieme L delle formule all'insieme {V,F} (vero, falso). O detto in termini più semplici, si definisce un meccanismo per determinare in quali casi una formula sia vera o falsa. La funzione la si definisce nel seguente modo:
- v : L → {V,F}
- v(¬A) = V sse v(A) = F (¬A è vera sse A è falsa)
- v(¬A) = F sse v(A) = V (¬A è falsa sse A è vera)
- v(A∧B) = V sse v(A) = V e v(B) = V (A∧B è vera sse A è vera e B è vera)
- v(A∨B) = V sse v(A) = V oppure v(B) = V (A∨B è vera sse A è vera oppure B è vera)
- v(A→B) = V sse v(A) = F oppure v(B) = V (A→B è vera sse A è falsa oppure B è vera)
Similmente, anche nel caso della Logica proposizionale intuzionista si può definire una funzione di valutazione, ma di tipo un po' diverso. Invece di essere correlata ad un'algebra booleana la funzione di valutazione della Logica proposizionale intuzionista è correlata ad un'algebra di Heyting.
Ad esempio si può definire la funzione di valutazione che va dall'insieme L delle formule all'insieme dei sottinsiemi aperti della retta reale:
- v : L → {int(S) : S ⊆ R} dove int(S) è la parte interna di S
- v(A) = int(v(A))
- v(¬A) = int(v(A)C) dove XC è il complemento di X
- v(A∧B) = v(A) ∩ v(B)
- v(A∨B) = v(A) ∪ v(B)
- v(A→B) = int(v(A)C ∪ v(B))
Grazie a questi teoremi si può facilmente verificare che la formula ¬(A ∧ ¬A) è valida. Il fatto che questa formula risulti valida è un requisito minimale affinché un sistema di Logica matematica possa destare qualche interesse. Se essa risultasse non valida infatti esisterebbero delle A per cui il sistema potrebbe dimostrare sia A che ¬A. Il sistema risulterebbe quindi contraddittorio.
La validità di ¬(A ∧ ¬A) si può dimostrare in quanto ponendo v(A) = X, indipendentemente dall'insieme X che viene scelto come valore della formula A, il valore di ¬(A ∧ ¬A) sarà sempre uguale all'intera retta reale R. Infatti
- v(¬(A ∧ ¬A)) =
- int((v(A ∧ ¬A))C) =
- int((v(A) ∩ v(¬A))C) =
- int((X ∩ int((v(A))C))C) =
- int((X ∩ int(XC))C) =
- (Siccome int(XC) è un sottinsieme di XC allora
- X ∩ int(XC) = ∅)
- int((∅)C)=int(R)=R
Basta scegliere v(A) = {x ∈ R : x > 0 }. Si avrà infatti:
- v((A ∨ ¬A)) =
- v(A) ∪ v(¬A) =
- v(A) ∪ int(v(A)C) =
- {x ∈ R : x > 0 } ∪ int({x ∈ R : x ≤ 0 }) =
- {x ∈ R : x > 0 } ∪ {x ∈ R : x < 0 }) =
- {x ∈ R : x ≠ 0 } ≠ R che è ciò che si voleva dimostrare
Ho anche provato a dimostrare che nella Logica intuizionista vale (I → ¬¬I), ma non vale il viceversa (¬¬I → I). Per chi fosse interessato può dare uno sguardo a questo mio tentativo di dimostrazione.
venerdì, luglio 23, 2010
Chi vincerà il mondiale del 2014? Una questione di Logica intuizionista? - Appendice 1
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| Paolo Rossi e Socrates: storica partita Italia - Brasile 3 -2 (1982) |
profezia Italia '14 (che chiameremo P):
P = "o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014"
O detto in termini simbolici, indicando con I la proposizione Italia '14 ("l'Italia vincerà il mondiale del 2014") potremmo scrivere:
P = (I oppure non-I)
che si può anche scrivere come:
P = (I ∨ ¬I)
Quella che abbiamo appena scritto la si può anche vedere come la formula che descrive in termini simbolici il Principio del terzo escluso. La profezia Italia '14 è quindi un esempio di Principio del terzo escluso. Terzo escluso in quanto la ragione ci porterebbe a dire che non esiste una terza alternativa nell'affermazione "o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014".
Ma è proprio così? Sì può asserire che P = (I ∨ ¬I) è sempre vera? Che non esiste una terza alternativa?
Penso che, a differenza della profezia Maya, nessuno dei membri della comunità scientifica, tranne forse qualche vetero-intuizionista, proverebbe a contraddire la profezia Italia '14...
Certo però che se la profezia Maya dovesse rivelarsi nel frattempo valida....
Bè, in tal caso potremmo forse dire che è vera ¬I, anche se in quel caso nessuno sarà in grado di attestare che l'Italia non ha vinto il mondiale del 2014.
Eppure ci sono stati dei logico-matematici che hanno posto dubbi sulla validità del principio del terzo escluso. L'approccio sostenuto da tali logico-matematici fu definito intuizionismo.
Vediamo quindi con un po' più di precisione che cos'è questo intuizionismo.
Ho già citato il fatto che il mio dialogo immaginario della precedente puntata tra Brouwer e Hilbert è ispirato ad una reale controversia tra i due matematici che va inquadrata tra le appassionanti discussioni di fine '800 primi del '900 relative ai fondamenti della matematica e che tra le posizioni filosofiche ipegnate nella rifondazione dei fondamenti c'era quella costruttivista con Poincaré e Weyl, all'interno della quale si posizionava la corrente radicale degli intuizionisti con Brouwer.
I costruttivisti, contrapponendosi principalmente al pensiero di Hilbert e dei formalisti, affermavano la necessità di trovare o di costruire un oggetto matematico per poterne dimostrare l'esistenza rifiutando le dimostrazioni per assurdo soprattutto nei casi che coinvolgono l'infinito; inoltre la corrente intuizionista dei costruttivisti, capeggiata da Brouwer (mi sembra quasi di stare a descrivere un partito), si spingeva oltre il costruttivismo rifiutando più in generale le dimostrazioni che implicano l'utilizzo di insiemi infiniti e l'applicazione in questi casi dei ragionamenti basati sul principio del terzo escluso.
Oggi si può probabilmente affermare che l'intuizionismo, come prospettiva filosofica volta a rifondare la matematica, ebbe un successo piuttosto limitato; anche se generò utili e prolifiche discussioni. Tuttavia lo stesso non si può dire per il sistema formale della Logica Intuizionista sviluppato da Arend Heyting, un allievo di Brouwer. Tale sistema formale ha dato luogo infatti ad una serie di sviluppi della Logica e ha trovato inoltre diverse applicazioni nell'informatica, sia teorica che applicata.
Tra le principali differenze della Logica intuizionista rispetto alla Logica classica c'è sia la non validità del principio del terzo escluso che la non validità dell'equivalenza tra affermazione e doppia negazione (I ↔ ¬¬I).
Ovvero, tralasciando per un attimo il rigore matimatico, si può dire che usando gli strumenti della Logica intuizionista, non sì potrà ad esempio dedurre la profezia Italia '14.
Inoltre, usando l'intuito, molti di voi probabilmente direbbero che affermare che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 è equivalente a dire che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014.
O detto in termini simbolici:
I ↔ ¬¬I
Invece nella Logica intuizionista, dal fatto che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 si potrà sì dedurre che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014 ( I → ¬¬I ), ma non vale il viceversa. Cioè dal fatto che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014 non si potrà dedurre che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 ¬(¬¬I → I).
A questo punto risulterebbe sicuramente interessante dare un breve sguardo alla semantica per la Logica intuizionista. È infatti grazie ad essa che possono essere verificate le suddette affermazioni. Ma questo lo vedremo nell'appendice numero due.
venerdì, luglio 09, 2010
Chi vincerà il mondiale? Una questione di Logica intuizionista?
Scegliamo una squadra a caso tra quelle che hanno fatto una pessima figura nella fase finale del mondiale di calcio 2010. L'Italia ad esempio.
Potremmo già formulare un pronostico sui risultati dell'Italia ai modiali brasiliani del 2014?
Bè, potrei affermare ad esempio che:
o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014
Penso che pochi proverebbero a contraddirmi. Ma siamo proprio sicuri che non ci sia un'altra possibilità? O come direbbe qualcuno, siamo proprio sicuri che tertium non datur?
Qualche notte fa dopo una cena a base di insalata di farro annaffiata da un paio di bicchieri di Regaleali me ne sono andato a letto con un certa sensazione di completezza e soddisfazione. In piena notte vengo però svegliato dall'impressione di un lamento profondo. In piedi accanto al mio letto scorgo una tenebrosa figura antropomorfa. Mi pietrifico all'istante. Dalla figura proviene una voce: quasi un infrasuono.
B: (rabbioso tormentato) Perché non vuole ammetterlo!! L'intuzione e la costruzione sono alla base di tutto!
Eppure in gioventù lo ammiravo così tanto.... E anche lui mi stimava molto.
D: (ripresosi dal trauma riesce timidamente a profferire parola) Scusi, ma lei chi è?
B: (austero e marziale) Molto lieto! Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Ma lei può chiamarmi semplicemente professor Brouwer.
D: (reverenziale un po' più animato) E di chi sta parlando professor Brouwer?
B: (spazientito) Come di chi!? Ma del professor David Hilbert naturalmente.
Una seconda figura si materializza nella stanza.
H: (con voce tuonante) Ho sentito pronunziare il mio nome!
B: (con enfasi accigliata) Stavo per l'appunto cercando di dire che la nostra aspirazione deve essere la ricerca della verità, non un arido formalismo alieno da essa.
H: (con sufficienza?) Ma con il mio formalismo saremo in grado di svelare e rivelare la verità in modo automatico e univoco. Potremmo anche giungere ad un punto in cui le presenza umana sarà superflua nel processo di disvelamento delle verità ignote.
B: (categorico) Ma voi, caro Hilbert, partite da premesse sbagliate! Per dimostrare l'esistenza di un oggetto io dovrò mostrare quell'oggetto o almeno mostrare di saperlo costruire.
H: (contraddittoriamente) No! Non è affatto vero! La costruzione appesantisce e complica inutilmente le cose. Brevità ed economia di pensiero! Sono queste le ragioni d'essere delle dimostrazioni d'esistenza. L'oggetto o esiste o non esiste. Tertium non datur! E se assumendo la sua non esistenza giungo ad una contraddizione allora vorrà dire che l'oggetto dovrà necessariamente esistere!
B: (quasi con soddisfazione) Ed ecco che abbiamo introdotto anche le più fallaci tra le vostre assunzioni: le dimostrazioni per assurdo e peggio ancora il principio del Terzo escluso. L'accettazione acritica di tali strumenti solo perché riconducibili a Pitagora e Aristotele è inammissibile!
H: (con scoraggiato scherno) Ma proibire ad un matematico l'uso del principio del terzo escluso sarebbe come proibire a un pugile di usare i pugni o proibire ad un astronomo di usare il telescopio.
B: (in un crescendo di impeto) La matematica non è un giochino enigmistico privo di significato! I suoi oggetti non sono scorrelati dalla realtà!! Le sue regole formali non possono prescindere dall'intuito!!! La scelta dei suoi assiomi deve essere guidata dall'esperienza!!!!
Le figure svaniscono dissolvendosi lentamente.
Ma allora è vero che o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014? O detto in termini simbolici, indicando con I la proposizione "l'Italia vincerà il mondiale del 2014", è vero che (I ∨ ¬I)?
Forse per il caso di questo enunciato la risposta è sì. (A patto che la profezia Maya non non si riveli nel frattempo valida, ma in tal caso potremmo dire che è vera ¬I, anche se probabilmente nessuno sarà in grado di verificarlo.) Nella matematica tuttavia esistono degli enunciati che non possono essere né provati né refutati, e cioè, approssimando un po', non può essere stabilito né che siano veri né che siano falsi, e sono per questo detti indecidibili. Esempi ne sono l'assioma della scelta e l'ipotesi del continuo, che sono entrambi indecidibili nell'assiomatizzazione tradizionale della teoria degli insiemi.
Il mio dialogo immaginario tra Brouwer e Hilbert è ispirato ad una reale controversia tra i due matematici che va inquadrata tra le appassionanti discussioni relative ai fondamenti della matematica avvenute tra la fine dell'800 e i primi decenni del '900. In questo contesto le posizioni filosofiche che si contendevano il primato erano essenzialmente tre: quella logicista con Frege e Russell; quella formalista con Hilbert; e infine quella costruttivista con Poincaré e Weyl, all'interno della quale si posizionava la corrente radicale degli intuizionisti con Brouwer. I logicisti volevano rifondare la matematica a partire dalla Logica, i formalisti volevan formalizzare la matemitica entro un sistema assimoatico capace di dimostrare o refutare un qualsiasi enunciato, mentre i costruttivisti affermavano la necessità di trovare o di costruire un oggetto matematico per poterne dimostrare l'esistenza rifiutando le dimostrazioni per assurdo soprattutto nei casi che coinvolgono l'infinito; infine l'intuizionismo di Brouwer si spingeva oltre il costruttivismo rifiutando più in generale le dimostrazioni che implicano l'utilizzo di insiemi infiniti e l'applicazione in questi casi dei ragionamenti basati sul principio del terzo escluso.
In seguito un allievo di Brouwer, Arend Heyting, sviluppò l'intuizionismo come un vero e proprio sistema formale: la Logica Intuizionista. Ma questo lo vedremo nell'appendice.
Potremmo già formulare un pronostico sui risultati dell'Italia ai modiali brasiliani del 2014?
Bè, potrei affermare ad esempio che:
o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014
Penso che pochi proverebbero a contraddirmi. Ma siamo proprio sicuri che non ci sia un'altra possibilità? O come direbbe qualcuno, siamo proprio sicuri che tertium non datur?
Qualche notte fa dopo una cena a base di insalata di farro annaffiata da un paio di bicchieri di Regaleali me ne sono andato a letto con un certa sensazione di completezza e soddisfazione. In piena notte vengo però svegliato dall'impressione di un lamento profondo. In piedi accanto al mio letto scorgo una tenebrosa figura antropomorfa. Mi pietrifico all'istante. Dalla figura proviene una voce: quasi un infrasuono.
B: (rabbioso tormentato) Perché non vuole ammetterlo!! L'intuzione e la costruzione sono alla base di tutto!Eppure in gioventù lo ammiravo così tanto.... E anche lui mi stimava molto.
D: (ripresosi dal trauma riesce timidamente a profferire parola) Scusi, ma lei chi è?
B: (austero e marziale) Molto lieto! Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Ma lei può chiamarmi semplicemente professor Brouwer.
D: (reverenziale un po' più animato) E di chi sta parlando professor Brouwer?
B: (spazientito) Come di chi!? Ma del professor David Hilbert naturalmente.
Una seconda figura si materializza nella stanza.H: (con voce tuonante) Ho sentito pronunziare il mio nome!
B: (con enfasi accigliata) Stavo per l'appunto cercando di dire che la nostra aspirazione deve essere la ricerca della verità, non un arido formalismo alieno da essa.
H: (con sufficienza?) Ma con il mio formalismo saremo in grado di svelare e rivelare la verità in modo automatico e univoco. Potremmo anche giungere ad un punto in cui le presenza umana sarà superflua nel processo di disvelamento delle verità ignote.
B: (categorico) Ma voi, caro Hilbert, partite da premesse sbagliate! Per dimostrare l'esistenza di un oggetto io dovrò mostrare quell'oggetto o almeno mostrare di saperlo costruire.
H: (contraddittoriamente) No! Non è affatto vero! La costruzione appesantisce e complica inutilmente le cose. Brevità ed economia di pensiero! Sono queste le ragioni d'essere delle dimostrazioni d'esistenza. L'oggetto o esiste o non esiste. Tertium non datur! E se assumendo la sua non esistenza giungo ad una contraddizione allora vorrà dire che l'oggetto dovrà necessariamente esistere!
B: (quasi con soddisfazione) Ed ecco che abbiamo introdotto anche le più fallaci tra le vostre assunzioni: le dimostrazioni per assurdo e peggio ancora il principio del Terzo escluso. L'accettazione acritica di tali strumenti solo perché riconducibili a Pitagora e Aristotele è inammissibile!
H: (con scoraggiato scherno) Ma proibire ad un matematico l'uso del principio del terzo escluso sarebbe come proibire a un pugile di usare i pugni o proibire ad un astronomo di usare il telescopio.
B: (in un crescendo di impeto) La matematica non è un giochino enigmistico privo di significato! I suoi oggetti non sono scorrelati dalla realtà!! Le sue regole formali non possono prescindere dall'intuito!!! La scelta dei suoi assiomi deve essere guidata dall'esperienza!!!!
Le figure svaniscono dissolvendosi lentamente.
Ma allora è vero che o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014? O detto in termini simbolici, indicando con I la proposizione "l'Italia vincerà il mondiale del 2014", è vero che (I ∨ ¬I)?
Forse per il caso di questo enunciato la risposta è sì. (A patto che la profezia Maya non non si riveli nel frattempo valida, ma in tal caso potremmo dire che è vera ¬I, anche se probabilmente nessuno sarà in grado di verificarlo.) Nella matematica tuttavia esistono degli enunciati che non possono essere né provati né refutati, e cioè, approssimando un po', non può essere stabilito né che siano veri né che siano falsi, e sono per questo detti indecidibili. Esempi ne sono l'assioma della scelta e l'ipotesi del continuo, che sono entrambi indecidibili nell'assiomatizzazione tradizionale della teoria degli insiemi.
Il mio dialogo immaginario tra Brouwer e Hilbert è ispirato ad una reale controversia tra i due matematici che va inquadrata tra le appassionanti discussioni relative ai fondamenti della matematica avvenute tra la fine dell'800 e i primi decenni del '900. In questo contesto le posizioni filosofiche che si contendevano il primato erano essenzialmente tre: quella logicista con Frege e Russell; quella formalista con Hilbert; e infine quella costruttivista con Poincaré e Weyl, all'interno della quale si posizionava la corrente radicale degli intuizionisti con Brouwer. I logicisti volevano rifondare la matematica a partire dalla Logica, i formalisti volevan formalizzare la matemitica entro un sistema assimoatico capace di dimostrare o refutare un qualsiasi enunciato, mentre i costruttivisti affermavano la necessità di trovare o di costruire un oggetto matematico per poterne dimostrare l'esistenza rifiutando le dimostrazioni per assurdo soprattutto nei casi che coinvolgono l'infinito; infine l'intuizionismo di Brouwer si spingeva oltre il costruttivismo rifiutando più in generale le dimostrazioni che implicano l'utilizzo di insiemi infiniti e l'applicazione in questi casi dei ragionamenti basati sul principio del terzo escluso.
In seguito un allievo di Brouwer, Arend Heyting, sviluppò l'intuizionismo come un vero e proprio sistema formale: la Logica Intuizionista. Ma questo lo vedremo nell'appendice.
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Ecco come io interpreterei i passaggi:
Premessa maggiore: Ogni posizione politica crea i propri folli marginali
Premessa minore: La lega esprime una posizione politica
Conclusione: La lega crea i propri folli marginali
Il che non fa una piega e non la farebbe sostituendo qualsiasi altro partito o movimento politico a “la lega”. Ciò che mi risulta difficile comprendere è che come conclusione Eco abbia detto: “poteva esistere anche Casseri”. Ma non mi pare che Casseri sia un leghista. Oppure ho capito male?
Se non ho capito male il sillogismo corretto sarebbe dovuto essere:
Premessa maggiore: Ogni posizione politica crea i propri folli marginali
Premessa minore: Casa Pound esprime una posizione politica
Conclusione: Casa Pound crea i propri folli marginali
Parafrasando: «Ogni posizione politica crea i propri folli marginali. Se in Italia esiste Casa Pound, poteva esistere anche Casseri»
Oppure come dice Ugo, bisogna leggere tra le righe e trovare gli anelli di congiunzione reconditi?