Oggi, 23 giugno, ricorrono i 105 anni dalla nascita di uno dei più noti e importanti matematici del XX secolo. Ed è stato allora più che naturale dedicargli la puntata odierna de Le grandi domande della vita! Della serie di Fibonacci ho scritto anche abbastanza di recente, ma oggi è il caso di ritornarci, visto che uno degli ultimi lavori di Alan Turing era dedicato alla serie numerica e alla sua presenza in natura, in particolare nella struttura delle piante⁽¹⁾: si potrebbero considerare gli sforzi di Turing come uno dei più importanti tentativi per rispondere al perché la sequenza si ripete in natura.
Il problema era noto come la fillotassi di Fibonacci e può essere definito come segue:

Le forme a spirale sulle teste dei girasoli sembrerebbero seguire la sequenza di Fibonacci, suggerendo la proposta di Turing che studiando i girasoli potremmo capire meglio come crescono le piante

Turing scrisse il suo interesse in ua lettra allo zoologo JZ Young: Riguardo il punto (iii), Turing scrisse in un’altra lettera:

a nostra nuova macchina sta per arrivare lunedì. Spero di fare qualcosa riguardo alla “chimica embiologica”. In particolare penso di poter dare conto della comparsa dei numeri di Fibonacci in connessione con rappresentare l’aspetto dei numeri di Fibonacci in connessione con le pigne.⁽¹⁾

Nel 2012 Jonathan Swinton, durante il Manchester Science Festival che si tiene ad ottobre, annunciò i risultati del grande esperimento sui girasoli di Turing:

Con un’estate così calda, non c’è nulla di meglio che rinfrescarsi scendendo sotto lo zero assoluto! E per i più curiosi, entriamo nei segreti delle code! Secondo la definizione di zero assoluto, questa:

è la temperatura più bassa che teoricamente si possa ottenere in qualsiasi sistema macroscopico e corrisponde a $0 K$ ($–273,15 ^circle C$). Si può mostrare con le leggi della termodinamica che la temperatura non può mai essere esattamente pari allo zero assoluto, anche se è possibile raggiungere temperature molto vicine ad esso. Allo zero assoluto le molecole e gli atomi di un sistema sono tutte allo stato fondamentale (ovvero il più basso livello di energia possibile) e il sistema ha il minor quantitativo possibile di energia cinetica permesso dalle leggi della fisica. Questa quantità di energia è piccolissima, ma sempre maggiore di zero. Questa energia minima corrisponde all’energia di punto zero, prevista dalla meccanica quantistica per tutti i sistemi che abbiano un potenziale confinante.

Per cui sembrerebe che nulla possa essere più freddo dello zero assoluto, e quindi che non possa esistere una temperatura assoluta negativa. Eppure nel 2013 è stato creato per la prima volta un gas atomico on una temperatura al di sotto dello zero assoluto^{(1, 2)}!
Il punto essenziale dell’esperimento è nella visione probabilstica della temperatura. In questo modo possono succedere alcuni effetti interessanti, come la contrazione di un gas riscaldato o il flusso di energia da un sistema a una data temperatura verso uno a una temperatura superiore.
Il gruppo di ricercatori di Braun e soci ha racchiuso in una trappola quantistica costituita da campi magnetici e raggi laser, alcuni atomi ultrafreddi di potassio riuscendo a portarli a una temperatura di poco inferiore allo zero assoluto (all’incirca $-10^{-9} K$). Questa scoperta apre la strada da un lato alla possibile realizzazione di sistemi con un’efficienza mai vista finora, e dall’altro alla possibilità di investigare un fenomeno che potrebbe essere alla base dell’energia oscura⁽²⁾.

Non potendo muoverci ed esplorare l’universo in tempi umani, il modo che abbiamo sviluppato per "esplorare" l’universo è raccogliendo la radiazione che ci manda. Il primo e più semplice modo che abbiamo mai utilizzato è indubbiamente l’occhio, però le informazioni che riusciamo a raccogliere utilizzando questo mezzo sono piuttosto limitate. L’universo, infatti, emette energia su varie frequenze: basta solo utilizzare lo strumento giusto per leggerle!
Uno dei segnali che ci manda con maggiore abbondanza è però costituito da particelle ad alta energia, i così detti raggi cosmici. Possiamo immaginarli un po’ come i proiettili animati messicani di Chi ha incastrato Roger Rabbit?: pieni di energia e pronti a interagire con la materia che incontrano. La storia della loro scoperta inizia nel 1909 con il fisico tedesco Theodor Wulf che, misurando le radiazioni intorno alla Torre Eiffel scoprì che i conteggi erano maggiori in cima rispetto alla base. Questa osservazione, però, nonostante la pubblicazione su Physikalische Zeitschrift, non venne mai accettata dalla comunità. Per avere una nuova osservazione nella stessa direzione di quella scoperta da Wulf bisogna attendere il 1911 quando l’italiano Domenico Pacini realizzò alcune misure analoghe su un lago, sul mare e a una profondità di 3 metri dalla superficie. I risultati andavano nella direzione della diminuzione della radioattività subacquea: Pacini concluse allora che una parte della ionizzazione doveva essere dovuta a fonti differenti dalla Terra⁽¹⁾.

Ho avuto la fortuna (o la sfortuna, ancora devo capirlo bene anche io) di vedere (ormai un mese fa) il Lear di Edward Bond, libera e moderna riscrittura del più famoso Re Lear di William Shakespeare. E leggendo un po' di tempo fa un articolo di Alessandro Fusacchia che propone un intervento fatto a un auditorium pieno di studenti delle medie, arrivo in fondo e trovo il senso ultimo dello spettacolo di Bond:

non fidatevi di chi vi dice che per proteggervi bisogna costruire un muro alto, talmente alto da non riuscire più a vedere che cosa c’è dall’altra parta, e che noi dobbiamo rinchiuderci tutti al di qua, da questa parte. Di questi signori non vi fidate. Perché quel muro non serve a proteggervi. Serve solo ad impedirvi di scoprire qualcosa che non conoscete ancora: voi stessi.

Scusandomi con i lettori per il leggero ritardo nella pubblicazione della consueta rubrica, vado immediatamente a raccontarvi di un numero che attirerebbe immediatamente l’attenzione di Paperon de Paperoni!

Un tale pose una coppia di conigli in un luogo circondato da pareti. La coppia iniziò a riprodursi a partire dalla fine del primo mese e ogni mese generò una nuova coppia di conigli. Tutte le coppie, nate nel corso dell’anno, iniziarono a riprodursi a partire dal secondo mese dopo la nascita e anch’esse generarono una nuova coppia ogni mese.
Quante coppie di conigli nascono complessivamente in un anno?

La soluzione di questo rompicapo, proposto da Leonardo Fibonacci, è la famosa serie numerica che porta il suo nome, $1$ $1$ $2$ $3$ $5$ $8$ $13$ $21$ e così via. In generale l’$n$-simo numero della serie di Fibonacci è dato da: \[F_n = F_{n-2} + F_{n-1}\] Nel 1611 Johannes Kepler, italianizzano come Giovanni Keplero, scoprì che il rapporto tra due numeri consecutivi di Fibonacci approssimava sempre meglio il numero aureo $\varphi$, mentre per attendere un legame formale tra la serie e $\varphi$ bisogna attendere la formula scoperta da Jacques Binet: \[F(n) = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^2}{\sqrt{5}}\] La scoperta del numero aureo viene tradizionalmente associata al pitagorico Ippaso di Metaponto ed è legata allo studio del pentagono regolare. In particolare il numero aureo viene definito come il rapporto tra una diagonale del pentagono e un suo lato. Il fatto che il pentagono fosse una figura geometrica dagli attributi praticamente mistici per i pitagorici⁽¹⁾, ha reso lo stesso $\varphi$ un numero di una certa importanza, tanto che gli antichi greci pensavano che le proporzioni perfette, quelle del bello, fossero legate esattamente al valore di tale numero $\varphi$.
E spero sinceramente che ciò possa rispondere alla prima curiosità sul perché il numero aureo è perfetto.

L'avevo anticipato ieri via instagram, ma oggi sulla pagina fb è anche uscito un comunicato un po' più ufficiale sull'avvenuta apertura del canale YouTube dell'Osservatorio Astronomico di Brera (cui siete tutti invitati a iscrivervi!). Il canale verrà utilizzato innanzitutto per caricare i video legati ai Cieli di Brera, la serie di conferenze divulgative organizzate dal gruppo di didattica e divulgazione dell'OAB.
A tal proposito è andato on-line il video della conferenza completa di Gabriele Ghisellini sui multiversi, di cui qui sotto vi propongo una sorta di breve sunto.

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Entrambi i video sono stati girati e montati da Laura Barbalini.

Riccordate l’effetto quantistico di Zenone? C’è una piccola novità cui sono incappato recentemente scrivendo il digest del Journal of Mathematical Physics vol.58, n.3.
Proviamo prima di tutto a ricapitolare: uno dei paradossi di Zenone più noti è quello della freccia: se si scaglia una freccia contro un condannato a morte, questa per percorrere tutta la distanza, dovrà prima percorrerne metà. Una volta coperta la distanza $1/2$, le resterà un altro $1/2$ da percorrere, ma anche di questo tratto ne coprirà prima un’altra metà, ovvero $1/4$ e così via. Nell’ottica dell’aritmetica greca, questo implicava per Zenone che la freccia non avrebbe mai colpito il condannato, di fatto negando filosoficamente il moto. Un paradosso simile, come osservato da Alan Turing, avviene anche in meccanica quantistica. La sua formulazione più semplice è fornita dalla seguente citazione:

Gli assiomi standard della meccanica quantistica implicano che nel limite di osservazioni continue un sistema quantistico non può evolvere.
(Andrew Hodges in Alan Turing: the logical and physical basis of computing - pdf)

Ora due ricercatori italiani, il fisico Paolo Facchi e la matematica Marilena Ligabò, entrambi dell’università di Bari, hanno studiato l’effetto quantistico di Zenone su tempi lunghi⁽¹⁾. In particolare si sono concentrati sul comportamento matematico della probabilità quantistica $p^{(N)} (t)$, quando sia il tempo $t$ sia il numero di misure effettuate $N$ tende all’infinito.
I due ricercatori hanno osservato che il valore di $p$ dipende da un parametro reale $\alpha$: per $0 \leq alpha \leq 1/2$, il sistema è congelato nel suo stato iniziale e quindi il QZE ha luogo; per $1/2 < \alpha < 1$, il sistema presenta un comportamento classico; per $\alpha = 1/2$, la probabilità ha un andamento gaussiano, $e^{-t^2 / \tau^2}$, dove $\tau \propto \hbar^{-2}$.
Infine

se $\alpha \geq 1$ il limite della probabilità è una bestia strana e diventa sensibile alle proprietà spettrali dello stato $\psi$⁽¹⁾.

Questo, da un punto di vista fisico, complica la situazione e rende necessarie ulteriori analisi. Resta però interessante l’idea che tale effetto possa avere anche un’azione a lungo termine sui sistemi quantistici.

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1. Facchi, P., & Ligabò, M. (2017). Large-time limit of the quantum Zeno effect Journal of Mathematical Physics, 58 (3) DOI: 10.1063/1.4978851 (arXiv) ↩ ↩ ↩

Benjamin è uno sceneggiatore alle prime armi. Ha scritto un cortometraggio in collaborazione con Ross Goodwin, che gli ha semplicemente fornito i dati necessari, come ore e ore di film di fantascienza e non solo. Una volta conclusa la fase di scrittura, il film è stato girato dal regista Oscar Sharp e interpretato da Thomas Middleditch, Elisabeth Gray e Humphrey Ker. La particolarità di Benjamin è di essere una rete neurale artificiale. Grazie ai suoi studi che portarono alla costruzione di Colossus, si può considerare Alan Turing uno degli ispiratori non solo per la creazione del computer, ma anche per gli studi sullo sviluppo di un’intelligenza artificiale. Il test di Turing era uno dei primi tentativi di ideare un sistema per verificare se un’intelligenza programmata da un essere umano fosse in grado di risultare indistinguibile da una umana. I ricercatori che, però, vanno considerati i veri iniziatori degli studi nel campo sono Warren McCulloch e Walter Pitts che nel 1943 svilupparono un modello di calcolo per reti neurali⁽¹⁾, che aprì la strada a due differenti approcci nello studio dell’intelligenza: da un lato quello sui processi biologici all’interno del cervello e dall’altro lo studio di reti neurali artificiali.

Ci avete mai fatto caso che lo zero e l'uovo rotto nel piatto hanno qualcosa in comune? Io no, mai, e continuo a non trovarci nulla di così in comune, nonostante quello che ho scritto per la puntata odierna: Il fattoriale di un numero intero è il prodtto di tutti i numeri compresi tra il numero stesso e uno. Ad esempio: \[5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\] In una lettera a Christian Goldbach datata 26 otobre 1729, il matematico svizzero Daniel Bernoulli provava a generalizzare il fattoriale ai numeri reali⁽¹⁾: \[x! = \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( n + 1 + \frac{x}{2} \right )^{x−1} \prod_{i=1}^n \frac{i+1}{i+x}\] Come spesso succedeva ai problemi di quell’epoca, non passò poco tempo che la questione finì nelle mani di Leonard Euler. In un aprima lettera⁽¹⁾ a Goldbach del 13 ottobre 1729, Euler diede una prima definizione della futura funzione Gamma: