Nonostante sia stato uno dei primi a proporre un modello eliocentrico (sicuramente un di quelli di cui si hanno più informazioni), Aristarco da Samo è stato riscoperto dagli storici della matematica solo in tempi relativamente recenti. Secondo Thomas Heath questa mancanza era dovuta al fatto che era considerato un astronomo:

(...) e quindi si potrebbe supporre che la sua opera non avrebbe suscitato sufficiente interesse per i matematici. I Greci la sapevano lunga: lo chiamavano "Aristarco il matematico".

Evidentemente le idee di Heath iniziarono a farsi largo: una trentina di anni più tardi rispetto ai volumi sulla storia della matematica dell'antica Grecia di Heath, Otto Neugebauer nel 1975 scriveva che il suo lavoro

(...) è un puro esercizio matematico che ha (...) poco a che fare con l'astronomia pratica (...)

Dobbiamo, però, considerare Aristarco sia come matematico, sia come astronomo. Fu allievo di Stratone di Lampsaco nel periodo in cui questi era a capo del Liceo di Alessandria, intorno al 287 a.C.
Venne, poi, citato in un testo del I secolo a.C., il De architectura dell'architetto e ingegnere romano Vitruvio. Questi, a un certo punto del suo trattato, fa un breve elenco dei grandi del passato che hanno avuto conoscenze in diversi campi dello scibile, e tra questi c'è proprio Aristarco. Inoltre ci dice anche che inventò una meridiana a forma di ciotola emisferica con un puntatore per proiettare ombre posto al centro della ciotola.

Le storie che vi andrò brevemente a raccontare in questa recensione di Topolino #3651 sono tutte caratterizzate dal gettare uno sguardo in tempi passati, iniziando dal nuovo episodio di Circus, Tempi moderni di Giovanni Di Gregorio e Ivan Bigarella.
Il riferimento del titolo al classico del 1936 di Charlie Chaplin trova seguito solo nell'ambientazione della storia: una fabbrica, nel caso specifico della storia di Di Gregorio una fabbrica automobilistica, una delle prime del XX secolo, evidentemente.
La storia, infatti, ribalta completamente il senso della pellicola di Chaplin: il proprietario, infatti, ingaggia il Circo Shadow per alleggerire il lavoro dei suoi operai chiedendo agli artisti circensi di realizzare spettacoli improvvisati e improvvisi all'interno dei vari reparti in cui è suddivisa la fabbrica. Nella pellicola di Chaplin, invece, il protagonista, Charlot, viene selezionato per sperimentare un nuovo marchingegno che permette agli operai di mangiare senza lasciare il proprio posto di lavoro. Il senso di alienazione di Charlot non fa altro che aumentare, mentre un significativo scambio di battute tra due operai prima che lo spettacolo improvviso del circo irrompa tra i nastri trasportatori della catena di montaggio sembra mostrare come la vita in fabbrica sia, anzi, tutta "rose e fiori":

Lo strumento matematico più potente sviluppato in fisica delle particelle per studiare le interazioni è il calcolo dello scattering, in termini meno tecnici la sezione d'urto. Nella visualizzazione delle interazioni introdotta dai diagrammi di Feynman, possiamo vedere un'interazione con un diagramma tipo quello qui sotto: A sinistra ci sono le particelle che stanno per interagire una con l'altra, a destra i risultati dell'interazione, nel centro, nel cerchio grigio, l'interazione vera e propria. Il calcolo della sezione d'urto ci dice quale è la probabilità di avere certe particelle in uscita al posto di altre e quale velocità dovrebbero possedere. In base al tipo di interazione che avviene nella zona grigia, le probabilità di avere certi risultati piuttosto che altri risultano differenti e questo aiuta a capire, quindi, quali interazioni sono intercorse tra le particelle che hanno "urtato".
I diagrammi di Feynman sono risultati uno strumento estremamente utile per il calcolo delle sezioni d'urto, grazie a due vantaggi (che ho anche raccontato in altre occasioni). Innanzitutto per via della loro rappresentazione visuale delle interazioni. E poi perché le regole di Feynman, che si sono dimostrate compatibili con il modo usuale di eseguire i calcoli fino all'introduzione dei diagrammi, permettono di associare a ciascun elemento del diagramma un "pezzo" di matematica che poi effettivamente utilizzeremo per eseguire il calcolo.

Una domanda interessante che ha prodotto risposte discordanti è quella relativa alla copertuna di una sfera usando dei triangoli.
La principale difficoltà nel coprire la superficie di una sfera con dei triangoli è che la superficie che vogliamo ricoprire ha una curvatura, mentre la figura che vogliamo utilizzare è piatta. QUesto vuol dire che se vogliamo utilizzare un triangolo o un qualsiasi altro poligono regolare per ricoprire la superficie di una sfera, questa figura non sarà mai identica a quella corrispondente nella usuale geometria euclidea.
Per capire la differenza, partiamo da un poligono regolare di \(n\) lati. Esso potrà essere suddiviso in altrettanti triangoli, che divideranno l'angolo al centro secondo la regola:

Proseguiamo con le soluzioni tratte dai racconti matematici che costituiscono A tangled tale di Lewis Carroll. Nel secondo nodo abbiamo incontrato un rompicapo in qualche modo vacanziero: tre amici, infatti, hanno trovato 4 alloggi interessanti che si affacciano su una piazza quadrata. L'idea è scegliere uno di questi 4 alloggi come soggiorno, in particolare quello che li costringe a camminare di meno.
Per procedere con la soluzione mi sono detto: perché non utilizzare i messi moderni, come per esempio geogebra?
Ciò su cui bisogna fare maggiore attenzione è posizionare correttamente le porte, ricordando che queste sono 20 e suddividono il quadrato in 21 parti uguali. Avendo in mente ciò, e ricordando che le stanze visitate sono ai numeri 9, 25, 52 e 73, graficamente avremo una soluzione del tipo:

Una domanda interessante è chiedersi se esiste un punto all'interno di un quadrato unitario in cui le distanze dai quattro vertici sono tutte razionali. Questa è una formulazione in un certo senso semplificata del problema della distanza razionale.
Questo è uno dei problemi irrisolti della teoria dei numeri e richiede di determinare una configurazione geometrica tale che tutte le distanze lungo specifici spigoli siano numeri razionali.

Puntata un po' particolare della serie visto che la domanda non viene da quora ma dal passato!

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La caratteristica principale della curva che prende il nome da Leonhard Euler è che la sua curvatura si modifica in maniera lineare con la distanza dal punto d'origine.
Fu proprio Euler a scoprirla per la prima volta in risposta a un problema sull'elasticità che gli era stato posto da Jacob Bernoulli: quale forma deve avere una molla pre-curvata in modo tale che, quando appiattita premendo sull'estremo libero, diventa una linea retta?
Euler determinò le proprietà di questa spirale nel 1744, osservando che essa possedeva due punti limite, ovvero due punti intorno ai quali si arrotolava sempre di più senza mai riuscire a raggiungerli.
In termini moderni, la curva può essere rappresentata da questa coppia di equazioni integrali:

Anche se più avanti avremo alcune questioni geometriche, voglio iniziare la puntata di oggi con la risposta a una ovvietà: \[\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\] Ovviamente si può generalizzare la dimostrazione, ma questa cosa la lascio a chi non è andato a spulciare nel link su Quora!

La raccolta de La giostra del maleficio è costituita da 19 racconti di varia lunghezza e da un romanzo breve che la conclude. I vari racconti di Jean Ray sono tutti caratterizzati, oltre che dal tema gotico e dalla descrizione della propoensione al male, anche quello quotidiano, da parte degli esseri umani, anche da una qual certa vena di ironia. Basti pensare alla signora de La gente illustre di Tudor Street che cerca i sosia dei grandi scrittori che hanno abitato nella sua casa per usarli per riprodurre delle statue di cera di questi stessi. La fine che fanno, ovviamente, potete immaginarla, visto il titolo della raccolta!
Sono presenti, però, anche alcuni racconti che catturano in maniera altrettanto ironica una serie di spunti scientifici, come per esempio il racconto d'apertura, Matematica superiore, in cui il tema dell'omicidio si sposa con la matematica multidimensionale e la geometria non euclidea.

Sul 45.mo volume della collana Matematica, Maurizio Codogno propone questo problema: Nelle soluzioni, quella specifica a questo problema è tagliata, per cui ho pensato bene di provare a proporre la mia soluzione qui sotto:

Letteralmente sarebbe "merciaio", ma preferisco "commerciante". Originariamente, infatti, il rompicapo era stato chiamato da Henry Dudeney haberdasher's problem. Era stato lo stesso Dudeney a proporlo sulle pagine della sua rubrica, Puzzles and Prizes, il 6 aprile del 1902, per poi fornire una soluzione nel numero del 20 aprile di quello stesso anno.
Il rompicapo è abbastanza semplice da raccontare: trovare un modo per suddividere un triangolo equilatero in modo tale che possa essere successivamente ricomposto per formare un quadrato. Dudeney diede una risposta in 5 sottofigure, ma affermò che tale C. W. McElroy di Manchester aveva trovato una soluzione in quattro pezzi:

Dopo il trittico di volumi piuttosto complicati, di cui Matematica e filosofia è stato una degna conclusione, non avevo molte aspettative relativamente a Matematica e letteratura, ma per fortuna il volume è finito in mano a Roberto Zanasi (un po' a sorpresa, visto che mi aspettavo Marco Fulvio Barozzi), che ha proposto una versione riveduta e corretta della sua serie su Dante Alighieri e la Divina Commedia presente sul suo blog, con riferimenti ulteriori a Jorge Louis Borges, Dino Buzzati (mi sono occupato di una variazione relativistica del racconto citato, un po' di tempo fa) e Herman Melville.
A fronte di una ricchezza di spunti e informazioni molto interessanti, in particolare quelle legate alle ipersfere e al Paradiso, sono tornati anche i refusi, per lo più di battitura, anche se uno è al limite dell'errore matematico, ma, e questo è il grosso guaio, anche uno piuttosto grosso. A un certo punto, infatti, Roberto scrive:

Possiamo costruire la radice quadra di 3? Sì, prendiamo un segmento lungo 3, costruiamo un quadrato, consideriamo la sua diagonale (lunga \(\sqrt{3}\)) (...)

Sarà perché sto cercando, proprio in questo momento (giusto poco prima di andare al cinema...), tra le tante cose, degli esempi per semplificare una serie di definizioni tipiche della teoria dei gruppi, che sfogliando la copia digitale de La strada che porta alla realtà di Roger Penrose (la mia copia fisica è sulla scrivania in ufficio) ho trovato particolarmente interessante e forse anche utile per ispirarmi su come chiarire un paio di concetti l'immagine che trovate qui sotto: Questo è probabilmente l'esempio più semplice di cosa sia uno spazio proiettivo, e in questo caso lo spazio proiettivo è il quadro che il pittore sta dipingendo, mentre lo spazio che viene proiettato è il panorama che sta osservando. In termini matematici il pittore sta eseguendo una proiezionie dei punti dello spazio tridimensionale su uno spazio bidimensionale. Ma vista con la vignetta qui sopra è indubbiamente tutta un'altra cosa!

George Everest, cartografo e geografo britannico, rivestì la carica di Topografo Generale dell'India dal 1830 al 1843, portando a termine un'estesa campagna di misure trigonometriche di quella che all'epoca era ancora una colonia britannica. Fu proprio in suo onore che la Royal Geographical Society rinominò il Monte Everest nel 1965, giusto un anno prima della sua dipartita.
La nipote Mary, figlia del fratello Thomas, nata l'11 marzo del 1832, aveva iniziato gli studi in Francia, dove la famiglia si era trasferita nel 1837. Qui iniziò a interessarsi alla matematica grazie ai discorsi che sentiva in famiglia che ruotavano intorno a scienziati come John Herschel e Charles Babbage, che poi avrebbe anche conosciuto personalmente dopo che gli Everest rientrarono in Inghilterra. Nel 1850 Mary, che aveva 18 anni, conobbe a Corck George Boole, che all'epoca ne aveva 35. Boole divenne il tutore, anche solo epistolare, di Mary nell'ambito della matematica. Quando poi il padre di Mary, Thomas, morì il 15 giugno del 1855, dopo un breve fidanzamento, i due si sposarono l'11 settembre di quello stesso anno. Mary, probabilmente anche grazie all'appoggio del marito, ha poi sviluppato il suo talento per la matematica che si è ben presto indirizzato verso la didattica di questa disciplina, ma la cosa interessante per la nostra storia è che dalla loro unione nacquero cinque bambine: la primogenita, Mary Ellen, che sposò il matematico Charles Howard Hinton; Margaret, che sposò Edward Taylor, mentre suo figlio, Geoffrey Ingram Taylor, sarebbe diventato un matematico e un fisico; Lucy, che divenne una chimica nonché la prima donna a essere eletta membro dell'Institute of Chemistry; Ethel Lilian, che divenne una scrittrice. E la terzogenita Alicia, matematica.

Avevamo già incontrato Christian Casalvieri sul 17.mo volume, dedicato alla relatività. In questo 30.mo volume, che in origine doveva essere l'ultimo della collana, affronta la geometria differenziale, chiudendo così in maniera abbastanza completa i conti con la grande branca della geometria. I temi che Casalvieri ha affrontato nel testo, con lo stesso stile chiaro e semplice adottato per la relatività, sono le curve nel piano e nello spazio e le superfici nello spazio, due temi che presentano diverse applicazioni nel campo della fisica. Casalvieri, però, ha citato come applicazione più nota quella alla relatività generale, per via della questione della curvatura di una superficie nello spazio. D'altra parte la questione della misura della curvatura dell'universo è legata alla quantità totale di materia gravitazionale che alla fine determina il destino dell'universo stesso. E questa è indubbiamente una questione delicata e che, in effetti, meriterebbe di essere affrontata a parte, però, e ciò in qualche modo mi ha stupito, ci sono diverse altre applicazioni della geometria differenziale in fisica che potevano essere citate. Certo se consideriamo la densità di informazioni presenti nel testo, per contro la scelta di Casalvieri è stata in qualche modo quella più semplice per ottimizzare al meglio lo spazio a disposizione.

Ottavio Rizzo mi ha conquistato sin dalle prime righe del primo capitolo, dedicato alle coniche. Infatti La geometria algebrica, 27.mo voòume della collana Matematica allegata a Gazzetta dello Sport, ruota intorno allo studio delle coniche sotto un punto di vista differente rispetto a quanto visto nel 16.mo volume dedicato alla geometria analitica. E questo punto di vista, per quanto si basi anche sulle equazioni già viste in quel volume, e quindi abbia un attacco decisamente molto abbordabile, è decisamente molto differente, e per certi versi, quando lo si inizia ad assimilare, e quindi ad apprezzare, è anche più semplice.
Per esempio, se ci poniamo sul piano proiettivo, potremmo automaticamente concludere che tutte le coniche, inclusa la parabola, sono equivalenti a una circonferenza! Sembra quasi la formalizzazione matematica del concetto platonico del "mondo delle idee". Per sinstetizzare, secondo Platone, all'interno di questo mondo c'è un'unico cerchio (o circonferenza, o sfera se andiamo sulle 3 dimensioni) e tutti gli altri cerchi non sono altro che delle copie di questo cerchio, che quindi è da considerarsi quello reale.

La diatriba tra il sistema astronomico geocentrico e quello eliocentrico è andata ben oltre le semplici questioni di quale fosse il modello più aderente alla realtà dei fatti. L'adozione del sistema geocentrico era ormai diventata una questione legata soprattutto a motivazioni extra-scientifiche. Anche per questo ho trovato interessante provare a tracciare in maniera sintetica una storia dei modelli del sistema solare, che è partita su EduINAF con una prima astrografica dedicata ai primi sistemi astronomici dell'antica Grecia. A farla da padrone in questo caso è stato il modello astronomico pitagorico, che presenta alcune interessanti caratteristiche su cui mi sembrava interessante riflettere ulteriormente oltre il ristretto spazio dell'astrografica e della breve introduzione di accompagnamento della stessa.

E' raro, ma a volte succede, che mi imbatto nelle domande per questa serie nella sezione italiana di Quora. Tutto parte da una interessante osservazione sul legame tra area e perimetro di un cerchio e tra volume e area della superficie di una sfera.
Se infatti prendiamo l'area del cerchio, ovvero \(\pi r^2\) e la deriviamo rispetto a \(r\) otteniamo \(2\pi r\), che è la misura della circonerenza, ovvero il perimetro del cerchio. Stessa cosa succede per il volume della sfera, \(4/3 \pi r^3\), la cui derivata rispetto al raggio è \(4 \pi r^2\) ovvero l'area della superficie della sfera. Questo fatto non è casuale e almeno un paio di utenti di Quora hanno spiegato la cosa con dettagli tecnici che, per quanto corretti, forse sono eccessivi. Non a caso qualcuno chiedeva nei commenti a queste risposte tecniche, una spiegazione che fosse comprensibile con la matematica delle scuole superiori.
In effetti ci sono, tra le risposte, molte che spiegano questo fatto proprio con la matematica delle superiori, in particolare quella degli ultimi anni, ovvero derivate e integrali. In particolare partiamo dal significato geometrico di integrale.
L'idea dietro l'operazione di integrale nasce da lontano, in particolare dal metodo di esaustione utilizzata da Archimede per il calcolo dell'area del cerchio, e dunque del valore del \(\pi\), e per il calcolo del volume dell'unghia.

Alcuni mesi fa vi proposi una conferenza del filosofo Nicola Donti in cui, a un certo punto, per fornire un esempio di come ragionano i bambini rispetto agli adulti, fece l'esempio di unire due punti su un foglio bianco. Gli adulti andrebbero con una linea retta, il percorso più breve che unisce, appunto, quei due punti. Un bambino scarabocchierebbe una linea contorta e, all'ovvia obiezione dell'adulto, probabilmente inizierebbe a raccontare la storia dietro quel percorso.
In effetti era da un po' che volevo riprendere quell'idea, lasciata lì un po' in sospeso. Intanto perché la ricerca del percorso migliore tra due punti è un qualcosa di molto più creativo, anche quando diventa un atto formale, rispetto alla semplice linea retta. Basti pensare, per esempio, al percorso più breve che unisce due punti dell'universo, che non è una linea retta (o se preferite lo è se siamo molto fortunati). Oppure se pensiamo ai due punti sul balcone lungo i quali stendiamo i panni ad asciugare: in quel caso la corda prende la forma di una curva matematica chiamata catenaria. Entrambi gli esempi hanno un elemento in comune: la forza di gravità che deforma a causa della sua presenza quella che geometricamente sarebbe una retta.
Se poi andiamo sulla superficie di una sfera, affrontando quindi il problema in maniera più geometrica, due qualsiasi punti sono uniti da un arco di circonferenza, e se vogliamo già solo questa constatazione romperebbe con qualsiasi discorsi di geometria euclidea.

Avendo realizzato una tesi di dottorato in topologia e teoria dei gruppi, il testo di Bruno Cifra non è stato eccessivamente complesso da sewguire. E in qualche modo sta qui anche la difficoltà nel valutarlo: riuscire a staccarsi da ciò che è per me comprensibile per provare a capire cosa potrebbe essere difficile per il lettore usuale. In effetti, però, è lo stesso autore a essere consapevole della parte più complessa del testo: quella iniziale in cui si cerca di far capire al lettore come la geometria moderna sia qualcosa che può tranquillamente staccarsi dal concetto di forme, ma anche da alcuni degli assiomi della geometria euclidea. In questo senso è molto interessante l'introduzione storica che fa comprendere come l'interesse verso le geometrie euclidee è comunque abbastanza vecchio (un paio di secoli all'incirca).
I concetti che, in qualche modo, mi hanno lasciato perplesso sono quelli legati agli invarianti, ma ciò è legato più che altro a come li avrei spiegati io (in maniera leggermente diversa) e, soprattutto, ai gruppi, che sono citati e in parte utilizzati, ma non introdotti o definiti. Non è esattamente una mancanza veniale, ma molto probabilmente se ne dicuterà, dei gruppi, in un volume futuro, il che, però, non è esattamente agevole per il lettore medio.
Nella sezione storica, invece, Sara Zucchini affronta la vita e, soprattutto, il grande desiderio di formalismo di David Hilbert, che forse non sarà stato il più geniale o precoce dei matematici della sua generazione, ma è stato sicuramente il più influente, grazie alla lista dei suoi famosi problemi che, enunciata nel congresso dei matematici di Parigi del 1900, ha tracciato la via per il XX secolo nella ricerca della matematica.
Infine i giochi matematici di Maurizio Codogno continuano sul tema della probabilità, in particolare interessanti quelli relativi al gioco d'azzardo, o la variazione moderna del problema dell'ago di Buffon.