Era dal nodo 2 (la soluzione) di A tangled tale di Lewis Carroll che non ci imbattevamo in Balbus e nei suoi compari. E finalmente eccoli tornare nel nodo 9, il penultimo. Siamo quindi in dirittura d'arrivo con questa lunga serie dei Rompicapi e dei Paralipomeni dedicata al libro di puzzle matematici dello scrittore di Alice nel paese delle meraviglie.
Anche in questa occasione, come per il nodo precedente (prima parte e soluzione, seconda parte e soluzione), siamo di fronte a più di un rompicap all'interno dello stesso racconto, nello specifico tre. Visto, però, che due di essi ricadono nello stesso argomento, realizzo un unico post per i primi due e un post successivo per il terzo. D'altra parte rispondere al primo dovrebbe rendere più semplice anche rispondere al secondo.

Il secondo rompicapo del nodo 8 di A tangled tale di Lewis Carroll raccontava di un omnibus che dalla città va verso la spiaggia. I nostri viaggiatori vengono raggiunti dall'omnibus proveniente dalla spiagga 12 minuti e mezzo dopo essere partiti dalla fermata in città. A quel tumpo la richiesta era quella di determinare dopo quanto tempo sarebbero stati raggiunti dal prossimo omnibus.
Per rispondere innanzitutto dobbiamo avere in mente che questo omnibus è quello che sarebbe partito dalla città 2 minuti e mezzo dopo quel primo incontro, quindi approssimativamente possiamo considerare il tempo di fermata nullo.
Per questo Paralipomeno non voglio, però, proporvi la soluzione di Carroll, ma una soluzione un po' più matematica (nel senso: con più formule!).
Quando omnibus e pedoni si incontrano, sono passati 12.5 minuti e si trovano in un dato punto \(y\) del tragitto, che diciamo sia lungo in totale \(a\). In quel momento, in particolare, all'omnibus servono altri 2.5 minuti per giungere alla fermata in città. Sapendo che le velocità dei pedoni e dell'omnibus si possono scrivere rispettivamente con le seguenti formule

Oltre ai numeri triangolari esistono anche altri tipi di numeri "geometrici", ognuno con una loro formula di definizione. Per esempio per i numeri ottagonali abbiamo la formula qui sotto: \[n = \frac{\sqrt{3 x_n +1}+1}{3}\] che possiamo utilizzare sia inserendo \(x_n\) nella formula per ricavare il posto che il numero ottagonale ha nella serie dei numeri ottagonali, ma anche per ricavare l'n-esimo numero invertendola.
La formula, in effetti non è esattamente agevole, a differenza di quella dei numeri ottagonali centrati: \[O_n = \left (2n-1 \right )^2\] Anche i numeri ottagonali centrati possono essere rappresentati come un ottagono, ma a differenza di quelli "semplicemente" ottagonali, si parte da un pallino al centro e poi si costruiscono una serie di ottagoni concentrici intorno a questo pallino iniziale. C'è, però, un teorema piuttosto particolare, che è in parte intuibile dalla formula di cui sopra, ovvero che ogni numero ottagonale centrato può essere rappresentato con quadrati di lato dispari.
Qui sotto una dimostrazione grafica tratta da commons:

Tutto il mese trascorso dal Carnevale precedente è ruotato intorno al pi greco e alla matematica per quel che riguarda ciò che ho pubblicato e intorno a Didacta per ciò che ho preparato nella vita di tutti i giorni. E questo è rispecchiato nel banner di questa 19.ma edizione, che è una variazione sul banner di Didacta realizzato con Gemini. D'altra parte, come ogni anni, l'edizione del pi day del Carnevale della matematica è stata ospitata proprio qui su DropSea e, visto che non ho realizzato alcun video di accompagnamento, mi sono inventato tre piccoli post che hanno avuto la funzione del countdawn. Visto che non li ho inseriti nel Carnevale vero e proprio, eccoli qui in apertura di Scienza take away:

• Gira il fiume gira, a tema pi greco
• Il teorema del sandwich al prosciutto
• La cometa 195P/Hill, scelta ovviamente per via del numero coincidente con l'ultima edizione del Carnevale

E visto che Didacta è bella fresca, aggiungo anche la porzione di articoli che ho scritto "in corso d'opera" alla fine del primo giorno, del secondo giorno e del terzo giorno. Li ho scritti in loco tramite smartphone e tablet.
E proprio a tema didattico c'è La visione della meccanica quantistica degli insegnanti italiani, un breve approfondimento su un paper che ha analizzato il rapporto di un campione (si spera significativo) di insegnanti italiani con la meccanica quantistica.
A questi post aggiungo, quindi, la recensione de Il libro del mare di Morten Stroksnes sul grande squalo del Mare del Nord.
Da EduINAF, invece, una nuova uscita de La scienza con i supereroi, Supereroine e scienziate: Bumblebee e Dr. Light, la recensione di The unforgotten sisters di Gabriella Bernardi, e infine il cielo di marzo 2026, che ve lo segnalo lo stesso nonostante siamo a metà mese.
Ho anche ripubblicato su DocMadhattan la traduzione in inglese della recensione uscita su EduINAF e realizzata dalla stessa Gabriella.

Come ogni anno arriva puntuale il 14 marzo, ovvero il pi day. E anche in questo 2026 il Carnevale della Matematica viene ospitato su DropSea. Ricordandovi che, come negli anni passati, troverete i contributi dei matematti intervallati dalle notizie pi greche, non mi resta che riassumere brevemente le proprietà del numero legato a questa edizione.
Il 195 è un numero dispari, divisibile sia per 3 sia per 5. Il terzo numero primo che lo divide esattamente è, poi, il 13, ottenendo così la seguente fattorizzazione: \[3 \times 5 \times 13\] cosa che lo rende un numero sfenico. Questa tipologia di numeri, infatti, è costituita da tutti coloro che posseggono tre fattori primi distinti. Per capire meglio basta osservare che 30 è sfenico, mentre 60 no, e questo perché tra i divisori di 60 c'è \(4 = 2^2\), ovvero 2 non è un divisore primo distinto di 60. Una proprietà interessante dei numeri sfenici è che posseggono esattamente \(8 = 2^3\) divisori, incluso se stesso.
E infatti la lista dei divisori è costituita da 1, 3, 5, 13, 15, 39, 65, che sono appunto 7 e diventano 8 aggiungendo il 195 stesso. Inoltre se sommiamo tra loro questi divisori (195 escluso) otteniamo 141, un numero inferiore a 195, che dunque rientra nella lista dei numeri difettivi.
Altra simpatica proprietà del 195 è che è divisibile per la somma delle proprie cifre: se infatti le sommiamo otteniamo 15, che è appunto un divisore del 195. Questo fatto lo rende un numero di harshad, che deriva dal sanscrito harṣa, ovvero una grande gioia.
Se sommiamo i primi 11 numeri primi dispari, otteniamo come risultato 195. E' anche un numero fortunato. Indine le sue rappresentazioni binaria (11000011), in base 4 (3003) e in base 8 (303) sono tutte palindrome.

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La terza e ultima giornata di Didacta è stata quella in cui mi sono tenuto meno laboratori e più tempo per girare tra gli stand. Ho iniziato al mattino con A che serve la matematica? di Roberto Natalini allo stand del CNR: una presentazione molto interessante e divertente che mi sento di condividere completamente. In effetti, soprattutto nelle discussioni successive, con Roberto circondato dalle insegnanti, è emersa una caratteristica comune con Daniele: quel prendersi il giusto tempo, che è, più in generale, caratteristica della scienza nel suo complesso.

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E anche il secondo giorno di Didacta è andato. Se l'evento per me più atteso era al mattino, con l'incontro con Daniele Gouthier sul suo libro La matematica che conta presso lo stand di ToKalon, il resto del programma di incontri che ho scelto di seguire è stato ricco di sorprese, alcune interessanti e stimolanti, altre un po' meno.
Il primo, il workshop "Signora mia, non esistono più le mezze stagioni", organizzato dall'ISTAT, era a tema ambientale e ha fornito spunti sia sul lato Legambiente, sia su quello EduINAF. In particolare su quest'ultimo punto hanno proposto un bel laboratorio che potrebbe legarsi al discorso dell'alternanza delle stagioni.
Sempre a tema ambientale il panel con cui ho chiuso la mia giornata a Didacta dedicato alla scoperta di alcuni testi di stampo ambientalista redatti dal marchese Matteo Biffi Tolomei della seconda metà del XVIII secolo che raccontano di un impegno appassionato per cercare, inutilmente, di impedire il taglio indiscriminato degli alberi sugli Appennini intorno a Firenze.

In effetti è noto in italiano come teorema del panino al prosciutto, ma generalmente in Italia per panino intendiamo qualcosa di ancora più sformato del tipico sandwich all'inglese (una tartaruga, per esempio), anche se pure in questa conformazione il teorema garantisce un risultato.
Esso, infatti, afferma che, quale che sia la disposizione dei tre oggetti che costituiscono il panino, esisterà sempre un modo di tagliarlo che permette di dividerli tutti e tre contemporaneamente esattamente a metà.

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Il primo giorno a Didacta è stato piuttosto interessante e divertente. Gli spazi a disposizione sono enormi e il programma di eventi, sia quello principale della fiera, sia quello collaterale degli espositori, è decisamente molto ricco. Per come me l'avevano descritta, l'avevo paragonata a Lucca Comics, ma girando tra i vari padiglioni, direi che è più simile a Fa' la cosa giusta, che tra l'altro dovrebbe essere proprio questo fine settimana.
Il programma è così ricco che è impossibile seguire tutto. E a volte qualche evento salta, come è successo a me: sospetto perché sono arrivato in ritardo dall'evento precedente...

Quest'anno mettere in piedi il Carnevale della Matematica del 14 marzo, che sarà peraltro la 195.ma edizione, non è stato per nulla semplice. Il motivo è che il giorno del pi day sarò sul treno per rientrare da Firenze, dove a partire dall'11 marzo sarà in svolgimento Didacta, fiera della didattica italiana. Ho, quindi, costretto gli altri matematti a inviarmi con congruo anticipo i loro contributi (e nel frattempo ho anche cercato di impostare delle bozze, non sia mai che riesca a raccontarvi qualcosa da Didacta a fine serata!), per cui non ho preparato nessun contenuto video da lanciare in contemporanea o in anteprima al Carnevale. E allora ecco l'idea di proporre in un post apposito un paio di news di MaddMaths! dedicate proprio al pi day e che sarebbero state decisamente vecchie uscendo all'interno del Carnevale:

• Tutte le info per segnalare gli eventi dedicati alla Giornata intenazionale della matematica: per questa edizione il tema è Matematica e speranza
• Inoltre c'è anche una pagina con alcune attività da organizzare per il pi day. All'interno troverete alcune schede in italiano per attività a tema matematico (e pi greco!).

Anche se mancano ancora pochi giorni al pi day, c'è comunque ancora un po' di tempo per segnalare eventi o lasciarsi ispirare dalle attività proposte!

Succede, a volte, quando si va nelle località di mare di perdere l'autobus che ci porta alla spiaggia, o viceversa, o in qualche altra amena località nei dintorni. E poi siamo costretti ad attendere un po'. A volte anche un bel po'. Per cui l'idea migliore diventa quella di iniziare a incamminarsi a piedi verso la propria destinazione, cosa che può anche rivelarsi piacevole a seconda del paesaggio o del tempo atmosferico. E qualcosa del genere è avvenuto anche per i protagonisti del nodo 8 di A tangeld tale di Lewis Carroll. In effetti il rompicapoo che segue è il secondo, presente in quel nodo (ho già pubblicato la soluzione del primo), e potrebbe sembrare analogo al rompicapo dei treni del terzo nodo. Andiamo, però, con ordine e vediamo nel dettaglio cosa dice il secondo rompicapo del nodo 8.
A un certo punto i due viaggiatori si trovano nel punto di partenza dell'omnibus diretto verso il mare. Essendo pieno, i due decidono di avviarsi a piedi verso la spiaggia. Dopo esattamente dodici minuti e mezzo incrociano, proveniente dalla direzione opposta, ovvero dal mare, un omnibus. A questo punto la domanda sorge spontanea:

Quando ci raggiungerà il prossimo omnibus?

Ultimo dato: gli omnibus partono ogni quarto d'ora.
Per la soluzione ci vorranno, come nelle altre occasioni, un paio di settimane circa.

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Illustrazione generata con Copilot e pubblicata su NughtCafe

John Wrench è stato catturato dal fasscino discreto non di una donna, ma di un numero molto particolare: il pi greco.
Nato il 13 ottobre del 1911 a Westfield, doipo tutta la trafila universitaria si ritrovò a lavorare prima presso le università di Yale e e Wesleyan, quindi per la Geroge Washington University.
Durante la seconda guerra mondiale lavorò presso la marina degli Stati Uniti, occupandosi di metodi computazionali ad alta velocità, diventando un pioniere nell'uso dei computer per l'esecuzione dei calcoli matematici. In questo modo si interessò di progetti nei campi più disparati: le onde sottomarine, le splosioni sottomarine, la progettazione strutturale, l'idrodinamica, l'aerodinamica, l'analisi dati. Nel 1953 divenne direttore dell'Applied Mathematics Laboratory presso il David W. Taylor Model Basin della Marina a Carderock.
L'asoetto più notevole del suo lavoro fu che tutte le innovazioni che ottenne nel calcolo numerico e la grande precisione nei dati erano ottenute grazie all'utilizzo di semplici calcolatrici da tavolo, come dimostra uno dei suoi primi e più noti risultati: il calcolo delle prime 1160 cifre del \(\pi\) realizzato nel 1956 in collaborazione con Levi Smith. Considerando come queste cifre sono state ottenute, ha sicuramente dell'incredibile che ben 1157 si siano rivelate corrette, dopo il confronto con quelle calcolate dall'ENIAC nel 1949.

Secondo Stephen Lucas, una delle più belle approssimazioni legate al pi greco è il seguente integrale: \[\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1+x^2} \text{d}x = \frac{22}{7} - \pi\] In effetti l'approssimazione di pi greco con la frazione \(22/7\) era nota sin dall'antichità.
Secondo Lucas la dimostrazione venne pubblicata per la prima volta nel 1971 su Eureka: the Archimedian's Journal, firmata da tale DP Dalzell. Lucas, però, ricorda anche che, secondo alcuni indizi, tale dimostrazione fosse nota già alla metà degli anni Sessanta da parte di Kurt Mahler. Come ricorda la stessa voce wiki, però, Dalzell aveva pubblicato una prima dimostrazione di questo fatto già nel 1944 sul Journal of the London Mathematical Society, e in effetti è una dimostrazione non troppo difficile da seguire.

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Immagine in apertura generata con Night Cafe

Sono incappato in due equazioni imparentate tra loro che mi sono divertito a risolvere. Iniziamo dalla prima: \[x(x+1)(x+2)(x+3) = 24\] La possiamo già risolvere senza manipolarla in alcun modo. Innanzitutto basta notare che la fattorizzazione di 24 è \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\) e questo già di permette di trovare una prima soluzione: \(x_3 = 1\) (più sotto capirete il "3" come pedice). Esiste anche una seconda fattorizzazione con i numeri negativi che ci porta a una seconda soluzione. Se infatti cambiamo di segno a tutti i numeri della prima fattorizzazione, allora ci rendiamo conto che una seconda soluzione è \(x_4 = -4\).
L'equazione di partenza, però, è di quarto grado, quindi esisteranno altre due soluzioni, non sappiamo se reali o immaginarie. Però conosciamo, anche solo parzialmente, la fattorizzazione del polinomio associato all'equazione di partenza:

Ci sono notizie che non fanno poi così notiza, e così ci mettono un po' ad arrivare. Come per esempio la notizia della scomparsa di Tom Lehrer a 97 anni il 26 luglio del 2025. Ok, probabilmente qualcuno nella sfera dei matematti ne avrà scritto, ma essendo ormai fine luglio con agosto in arrivo, semplicemente me la sono persa.
Ne hanno scritto, però, sul numero di febbraio 2026 delle Notices of AMS e la prima parte dell'articolo è dedicata alla sua attività più nota: quella di cantautore scientifico.

Il rompicapo del nodo 8 di A tangled tale di Lewis Carroll poteva essere tradotto, in termini un po' più matematici, come segue:

Trovare una serie di 4 numeri tali che il successivo è più vicino al 10 rispetto a quello precedente. Inoltre il primo numero deve essere più vicino al 10 rispetto al quarto. Infine la somma dei quattro numeri deve essere 24.

Se esaminiamo matematicamente il rompicapo scritto in questo modo, abbiamo dal primo vincolo che \[d(n_1) > d(n_2) > d(n_3) > d(n_4)\] dove \(d(n_i)\) è la distanza dell'i-esimo numero da 10.
Messa così ci sono diverse soluzioni. Per esempio 3, 5, 7, 9.

• 5 è più vicino a 10 rispetto a 3: le rispettive distanze sono 5 e 7.
• 7 è più vicino a 10 rispetto a 5: le rispettive distanze sono 3 e 5.
• 9 è più vicino a 10 rispetto a 7: le rispettive distanze sono 1 e 3.
• La somma dei 4 numeri è 24.

Avevo già scritto della teoria delle catastrofi nella sua formulazione originaria dovuta a René Thom e poi avevo ritoccato l'argomento nella recensione del 15.mo volume della collana Matematica di Luigi Amedeo Bianchi incentrato proprio su tale teoria. Questa, però, si presta a essere applicata a diverse situazioni, come ben mostrato da Marten Scheffer et al. in Early-warning signals for critical transitions, pubblicato nel 2009 su Nature.

Dopo il problema culinario di Madd Mathesis della nipote (qui la soluzione), nel nodo 8 di A tangled tale di Lewis Carroll ritroviamo i nostri amici approdati sull'isola di Kgovjni. Qui, dopo aver affrontato l'enigma della miglior tessitrice di sciarpe (qui la soluzione), si trovano a dover affrontare un nuovo problema posto da Sua Altezza Radiosa.
Uno dei soldati della guardia è in difficoltà. L'annoiata sovrana, infatti

(...) gli ha ordinato di disporre 24 maiali in quei quattro porcili, in modo tale che, girando per la corte, ella possa sempre possoa trovare che il numero [di maiali] in ogni porcile sia più vicino a dieci di quello precedente.

Riusciranno i nostri eroi a risolvere anche questa volta l'enigma?
Ovviamente provateci anche voi!

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Illustrazione generata con Copilot e pubblicata su NightCafe

Nel nodo 7 di A tnagled tale di Lewis Carroll avevamo lasciato Clara e la zia Mad Mathesis, alle prese con un problema di conti quotidiani: determinare il costo di due pranzi all'inglese, costituiti da limonate, panini (immagino i classici sandwitch all'inglese) e biscotti.
I pasti da determinare erano così costituiti:

1. un bicchiere di limonata, un panino e un biscotto
2. 2 bicchieri di limonata, 3 panini e 5 biscotti

I dati di partenza, invece, erano i costi di due pranzi precedenti di cui Clara aveva annotato i costi:

1. una limonata, 3 panini e 7 biscotti, con un costo di 1 scellino e 2 penny
2. una limonata, 4 panini e 10 biscotti, con un costo di 1 scellino e 5 penny

Nonostante sia stato uno dei primi a proporre un modello eliocentrico (sicuramente un di quelli di cui si hanno più informazioni), Aristarco da Samo è stato riscoperto dagli storici della matematica solo in tempi relativamente recenti. Secondo Thomas Heath questa mancanza era dovuta al fatto che era considerato un astronomo:

(...) e quindi si potrebbe supporre che la sua opera non avrebbe suscitato sufficiente interesse per i matematici. I Greci la sapevano lunga: lo chiamavano "Aristarco il matematico".

Evidentemente le idee di Heath iniziarono a farsi largo: una trentina di anni più tardi rispetto ai volumi sulla storia della matematica dell'antica Grecia di Heath, Otto Neugebauer nel 1975 scriveva che il suo lavoro

(...) è un puro esercizio matematico che ha (...) poco a che fare con l'astronomia pratica (...)

Dobbiamo, però, considerare Aristarco sia come matematico, sia come astronomo. Fu allievo di Stratone di Lampsaco nel periodo in cui questi era a capo del Liceo di Alessandria, intorno al 287 a.C.
Venne, poi, citato in un testo del I secolo a.C., il De architectura dell'architetto e ingegnere romano Vitruvio. Questi, a un certo punto del suo trattato, fa un breve elenco dei grandi del passato che hanno avuto conoscenze in diversi campi dello scibile, e tra questi c'è proprio Aristarco. Inoltre ci dice anche che inventò una meridiana a forma di ciotola emisferica con un puntatore per proiettare ombre posto al centro della ciotola.