Storicamente la teoria dei grafi muove i primi passi grazie alla risoluzione del problema dei sette ponti di Konigsberg da parte di Leonhard Euler, o Eulero per gli amici italiani. Sonia Carras e Ludovico Pernazza, dopo aver introdotto storicamente la teoria e tutti i suoi elementi cardine, inclusa l'equazione di Eulero relativa a spigoli, vertici e facce, passa a proporre una serie di applicazioni pratiche della teoria, come per esempio la risoluzione del problema del trasporto ottimale delle merci lungo una rete o della gestione dei voli aerei tra un insieme di aereoporti.
Tra le applicazioni più interessanti, però, ci sono quella relativa agli scacchi (e non escludo che utilizzerò la bibliografia relativa per una serie di post scacchistici su cui sto ragionando), quella relativa al calcio (cui dedicai alcuni anni fa alcuni post su Science Backstage) e infine quella in qualche modo sorprendete applicata alla musica. Tra l'altro i due autori citano anche Moreno Andreatta e il suo volume dedicato all'argomento, il 13.mo della collana, che se ricordate bene pensavo sarebbe stato più opportuno far uscire un po' più avanti nel corso della collana. In particolare i due autori ricordano come Andreatta non solo utilizza la teoria dei grafi per classificare la musica, ma anche per comporre musica nuova, il che, in qualche modo, dimostra ancora una volta come ci sia ben poco da stupirsi se, finalmente, le reti neurali sono oggi in grado di comporre musica in grado di rientrare entro i canoni, matematicamente classificati, della musica mondiale.

In un certo senso Davide Palmigiani ha approcciatà la questione della probabilità allo stesso modo con cui Maurizio Codogno ha affrontato la teoria dei giochi. Il tema, forse, era giusto leggermente meno ostico di quello del volume precedente, visto che tanti si danno al gioco d'azzardo. O forse il motivo per cui tanti si danno al gioco d'azzardo: il tema è poco conosciuto. C'è poi anche la componente legata al fatto che molti si legano alla speranza di una vittoria che poossa compensare alle perdite, ma ovviamente a conti fatti la cosa è rara e colpisce pochissimi giocatori. Il tutto si riassume in una semplice frase: il banco vince sempre. Ovviamente non è esattamente così e andrebbe riformulata in: il banco vince sulla distanza.
In ogni caso l'approccio utilizzato, quello di dare una maggior enfasi al gioco d'azzardo, almeno nella prima parte, ha permesso di approcciare il tema del calcolo delle probabilità in una maniera particolarmente leggera, per quanto comunque rigorosa, introducendo anche alcuni concetti, come quello del gioco equo, che generalmente non sono presentati nei programmi scolastici.

Arriva la nuova puntata della Breve storia del pi greco, una serie di articoli che "ristampano" i box delle notizie pi greche che tediano allegramente i Carnevali della matematica del pi day che ho l'onore di ospitare, inclusa l'ultima edizione, la #176. Per la puntata di quest'anno, la 12.ma, ho voluto aggiungere un piccolo backstage relativo all'astrografica pi greca uscita su EduINAF proprio nel pi day.
Vi segnalo poi la versione in pdf della Breve storia che spero di riuscire ad aggiornare nei prossimi giorni. In alternativa ecco l'elenco dei link alle puntate precedenti: L'era dei computer nel calcolo delle cifre decimali del \(\pi\) iniziò a metà del XX secolo. Nel 1949, infatti, utilizzando una semplice calcolatrice, John Wrench e Levi Smith calcolarono 1120 cifre decimali.
L'anno dopo George Reitwiesner e John von Neumann raggiunsero le 2037 cifre. Utilizzarono una serie infinita di arcotangenti sul computer ENIAC, che impiegò 70 ore per ottenere questo risultato. Proprio grazie alle serie delle arcotangenti il record venne battuto sempre più spesso negli anni successivi: 3089 cifre nel 1955, 5480 cifre nel 1957, 10000 cifre nel 1958, 100000 nel 1961, 1 milione di cifre nel 1973.
Negli anni Ottanta del XX secolo arrivò un nuovo strumento che permise di calcolare le cifre decimali del pi greco in maniera più veloce ed efficiente: gli algoritmi iterativi.

I campi per i quali Nicholas Metropolis, fisico greco nato l'11 giugno del 1915, è più noto sono la fisica nucleare e la computazione. Dopo la laurea nel 1937 e il dottorato nel 1941, entrambi in fisica presso l'Università di Chicago, venne reclutato da Robert Oppenheimer per lavorare al Progetto Manhattan a Los Alamos al fianco di Enrico Fermi e Edward Teller.
Dopo la seconda guerra mondiale, ritorna presso l'Università di Chicago come professore assistente, ma nel 1948 ritorna a Los Alamos per guidare il gruppo di teorici che progettano e costruiscono MANIAC I nel 1952 e MANIAC II nel 1957. MANIAC, Mathematical Analyzer, Numerical Integrator, and Computer or Mathematical Analyzer, Numerator, Integrator, and Computer, è basato sulla macchina IAS di John von Neumann, che non amava l'acronimo scelto da Metropolis. Quest'ultimo l'aveva scelto nella speranza, inevasa, di fermare la proliferazione degli acronimi per nominare i computer. La macchina pesava poco meno di mezza tonnellata e venne utilizzata per portare a termine i calcoli più precisi possibile relativi alle reazioni termonucleari. Utilizzava oltre 2800 tubi a vuoti e 1000 diodi a semiconduttori. Basato sulla fisica dello stato solido, era in grado di memorizzare 4096 parole da 48 bit nella memoria magnetica e 12288 nella memoria costituita da tubi di Williams.
Dal 1957 al 1965 Metropolis ricoprì il ruolo di professore di fisica presso l'università di Chicago, dove fondò l'Institute for Computer Research, di cui fu anche direttore. Nel 1965 tornò a Los Alamos come Laboratory Senior Fellow fino al 1980.
Altro importante contributi di Metropolis fu lo sviluppo del metodo Monte Carlo insieme, tra gli altri, a von Neumann e a Stanislaw Ulam⁽¹⁾. Il metodo Monte Carlo è un approccio statistico per risolvere problemi deterministici a molti corpi. La prima applicazione di tale metodo la ritroviamo in un articolo del 1953, firmato tra gli altri proprio da Metropolis, dove era per la prima volta proposta una simulazione numerica di un liquido⁽²⁾.

La leggenda più nota per raccontare il precoce talento di Carl Friedrich Gauss è la classica storia in cui il piccolo riuscì a sommare i primi 100 numeri naturali, compito lasciato alla classe di cui era studente per tenere buoni i bambini durante un'improvvisa assenza della maestra. Eppure la storia che racconta Martin Gardner sul numero di aprile del 1965 di Scientific American è ancora più sconvolgente: il buon Gauss era figlio di un muratore e mentre il padre stava sistemando il libro delle paghe dei suoi lavoratori, il giovane Carl gli disse che i conti erano sbagliati. A questo punto, anche solo per dimostrare che il figlio si sbagliava, Gauss senior ricontrollò i calcoli scoprendo che, al contrario, il piccolo Carl aveva affermato il giusto: aveva solo 3 anni e nessuno gli aveva ancora insegnato nulla sulla matematica!
Nella storia della matematica, Gauss è uno dei pochi principi di questa disciplina ad avere avuto non solo una grande creatività, ma anche una velocità di calcolo inavvicinabile, sorretta evidentemente da una forte memoria. Queste ultime caratteristiche non sono spesso abbinate con la prima, la creatività, e anzi in alcuni casi ne sono di impedimento, ma Gauss non è l'unico esempio di grandi scienziati che sono stati in grado di abbinare queste tre capacità in una sola mente.
Altro esempio a noi più recente è quello di John von Neumann. Pioniere nell'ideazione e progettazione dei moderni computer, era anche molto abile nel calcolo a mente. Si narra infatti che, quando era a Los Alamos, era tenuto da conto come uno degli esperti del calcolo insieme con Enrico Fermi e Richard Feynman: in particolare, mentre l'italiano prendeva il regolo calcolatore e Feynman la calcolatrice, von Neumann utilizzava solo il calcolo mentale. E ovviamente non aveva alcun timore di sbagliare, più o meno come tutti i... "calcolatori".
A riprova, però, della difficoltà di mettere insieme velocità di calcolo, memoria e creatività c'è, però, il confronto tra von Neumann e altri campioni del calcolo a mente, che fanno letteralmente scomparire le abilità degli scienziati qui citati o di altri come Leonhard Euler o John Wallis, anch'essi abili a calcolare senza l'ausilio di carta e penna.

Era il 1986 quando Christopher Langton propose di utilizzare una formica per studiare la biochimica della vita⁽¹⁾. La formica di Langton, però, non era una vera e propria formica, ma un automa cellulare. Prima di vedere come funziona la proposta di Langton, vale la pena introdurre gli automi cellulari e, tra questi, ilpiù famoso di tutti, il gioco della vita di Conway. Tutto ebbe inizio a Los Alamos con John von Neumann e Stanislaw Ulam. I due stavano studiando, rispettivamente, i sistemi autoreplicanti il primo e la crescita dei cristalli il secondo.
Il progetto iniziale di von Neumann si basava sull'idea di un robot in grado di costruire un altro robot: sviluppando questo progetto, il matematico si rese conto dei problemi insiti in esso, come il costo eccessivo nel fornire al robot le molte parti necessarie per costruire un altro robot a lui identico.
L'idea di Ulam di utilizzare un modello discreto per l'autoreplicazione in qualche modo venne ripresa dai due matematici quando, sul finire degli anni Cinquanta, crearono un modello per calcolare il movimento di un liquido. Essi consideravano il liquido come un gruppo di unità discrete e calcolavano il moto di ciascuna unità in base al comportamento dei vicini: nasceva il primo sistema di automi cellulari.
I due realizzarono un sistema in grado di copiare e costruire dalle celle di partenza in funzione di alcune regole base sulla vicinanza⁽²⁾. Tale sistema sarebbe stato in grado di realizzare un numero infinito di copie di se stesso all’interno dell’universo cellulare dato: questo è il così detto costruttore universale di von Neumann.

Oggi, 23 giugno, ricorrono i 105 anni dalla nascita di uno dei più noti e importanti matematici del XX secolo. Ed è stato allora più che naturale dedicargli la puntata odierna de Le grandi domande della vita! Della serie di Fibonacci ho scritto anche abbastanza di recente, ma oggi è il caso di ritornarci, visto che uno degli ultimi lavori di Alan Turing era dedicato alla serie numerica e alla sua presenza in natura, in particolare nella struttura delle piante⁽¹⁾: si potrebbero considerare gli sforzi di Turing come uno dei più importanti tentativi per rispondere al perché la sequenza si ripete in natura.
Il problema era noto come la fillotassi di Fibonacci e può essere definito come segue:

Le forme a spirale sulle teste dei girasoli sembrerebbero seguire la sequenza di Fibonacci, suggerendo la proposta di Turing che studiando i girasoli potremmo capire meglio come crescono le piante

Turing scrisse il suo interesse in ua lettra allo zoologo JZ Young: Riguardo il punto (iii), Turing scrisse in un’altra lettera:

a nostra nuova macchina sta per arrivare lunedì. Spero di fare qualcosa riguardo alla “chimica embiologica”. In particolare penso di poter dare conto della comparsa dei numeri di Fibonacci in connessione con rappresentare l’aspetto dei numeri di Fibonacci in connessione con le pigne.⁽¹⁾

Nel 2012 Jonathan Swinton, durante il Manchester Science Festival che si tiene ad ottobre, annunciò i risultati del grande esperimento sui girasoli di Turing:

Attenzione! Il rompicapo proposto quest'oggi è ad alto tasso matematico. Ci sono molti conti, che di per sé non sono difficili da seguire. Osservando le immagini (e la gif animata) la comprensione del procedimento descritto non dovrebbe essere troppo difficile.

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La settimana scorsa il sempre brillante Bruno ha proposto alle prime il famoso rompicapo di una mosca che vola tra due treni che stanno correndo allegramente uno contro l'altro verso un disastro ferroviario. L'enunciato del problema è presto detto:

Due treni sullo stesso tracciato sono distanti 100 km e procedono uno contro l'altro alla velocità costante di 50 km/h. Una mosca, partendo dal muso di uno dei treni, vola verso l'altro alla velocità di 75 km/h. Una volta raggiunto l'altro treno, la mosca si volta e continua verso il primo treno. Quanti chilometri percorre la mosca prima di restare schiacciata nella collisione dei due treni?⁽¹⁾

E' possibile trovare il rompicapo con velocità e spazi differenti, ma essenzialmente questo è il suo enunciato e, ovviamente, può essere risolto utilizzando il calcolo simbolico: $v_T$ sarà la velocità dei treni, $v_M$ la velocità della mosca, $S_0$ la distanza iniziale tra i treni. E come spesso succede lo si può affrontare utilizzando diversi approcci.
Innanzitutto, poiché i due treni viaggiano alla stessa velocità, essi si scontreranno perfettamente a metà del percorso che li separa. Il tempo della collisione sarà dunque⁽²⁾: \[t_T = \frac{S_0}{2 v_T}\] La mosca, allora, percorrerà in linea retta tra i due treni una serie di tratti, avanti e indietro, coprendo una distanza totale di \[S_M = \frac{S_0}{2 v_T} v_M\] Un approccio interessante, proposto da Bruno in classe, è però quello grafico, che prevede di utilizzare il diagramma $t$-$S$, con $t$, tempo, sull'asse delle ascisse (quello orizzontale), $S$, spazio, su quello delle ordinate (quello verticale). Il risultato è quello che segue, dove le due rette nere sono i treni, il loro punto di intersezione l'istante della collisione e il segmento in rosso rappresenta la mosca. Il punto dove questo si interrompe coincide, proiettato sull'asse $S$, con lo spazio percorso dalla mosca, quello calcolato in precedenza:

- Non sa fare una sottrazione - disse la Regina bianca. - Sei capace di fare una divisione? Dividi una pagnotta con un coltello... che risultato ottieni?
- Suppongo che... - stava per cominciare Alice, ma la Regina rossa rispose per lei. - Pane e burro naturalmente...⁽¹⁾
(Attraverso lo specchio)

Questo passaggio dal secondo romanzo di Alice di Lewis Carroll richiama ai tipici problemi di sezionamento molto diffusi sia nella matematica ricreativa, sia in quella seria. Uno dei più famosi, probabilmente noto già a Carroll, visto che nella sua biblioteca venne ritrovato il libretto The Fashionable Chinese Puzzle, è il tangram, un gioco di sezionamento proveniente dalla tradizione orientale, ideato da tale Tan, forse un saggio forse una divinità. Portato negli Stati Uniti dal capitano Donnaldson, il tangram ottenne il suo primo grande successo grazie al libro The Eighth Book Of Tan, la cui copertina è opera di Sam Loyd, noto divulgatore di giochi e puzzle matematici. Il tangram è in pratica un quadrato che è stato dissezionato nel modo seguente (5 triangoli, 1 losanga e 1 quadrato): e partendo da questi è possibile costruire varie altre figure geometriche più o meno regolari. Tra queste ultime si ricordano in particolare il Cappellaio Matto e la Lepre Marzolina realizzate da Henry Dudeney nel suo Amusements in Mathematics Con i tangram, poi, si possono proporre alcuni piccoli interessanti paradossi di scomparsa (o di apparizione) come ad esempio quello che lo stesso Dudeney ha proposto nel già citato libro:

Queste sono le sagome di due arlecchini che sono esattamente uguali a parte per un dettaglio: uno dei due ha un piede. Ora, entrambe le due figure sono costituite da sette tangrammi. Da dove viene, dunque, il piede del secondo arlecchino?⁽²⁾

E questo è solo uno degli oltre 6500 problemi che sono stati scritti con il tangram. Limitandoci però alle sole figure più o meno regolari, è però possibile determinare il numero di figure geometriche convesse che si possono costruire con i pezzi del tangram. E visto che a trovare il risultato non sono stati due tipi qualunque, ma due ricercatori cinesi, Fu Traing Wang e Chuan-Chih Hsiung, la dimostrazione di quello che possiamo chiamare come il teorema del tangrammo⁽³⁾ è assolutamente formale e non è certo frutto di una serie di tentativi.
La dimostrazione si sviluppa in 4 paginette e parte dal canonico quadrato del tangram questa volta però suddiviso in 16 triangoli rettangoli isosceli. Innanzitutto si stabiliscono le proprietà dei 16 triangoli e dei poligoni convessi che si possono realizzare con essi. Definite infatti le ipotenuse come i lati irrazionali e i cateti lati razionali si può iniziare a costruire la dimostrazione.
Innanzitutto i due ricercatori cinesi stabiliscono che partendo dai 16 triangoli rettangoli isosceli di cui sopra, il poligono convesso costruito sarà tale che almeno un lato razionale di un triangolo non è adiacente a un lato irrazionale di un altro triangolo. Da questo discende un secondo lemma, ovvero che in un poligono convesso costituito dai soliti 16 triangoli i lati saranno costituiti da lati di triangoli dello stesso tipo, ovvero o solo da lati razionali o solo da lati irrazionali e quindi così saranno rispettivamente chiamati i lati del poligono. In generale, poi, i lati razionali e i lati irrazionali di un poligono si alternano.
A questi seguono due nuovi lemmi, anch'essi legati uno all'altro: il primo stabilisce in otto il numero massimo di lati per il poligono convesso che si può costruire con i 16 triangoli isosceli, il secondo stabilisce che il nostro poligono può essere inscritto all'interno di un rettangolo tale che o tutti i lati razionali o tutti i lati irrazionali del poligono appartengono ai lati del rettangolo.
Ed ecco che fatti i calcoli, esaminate le condizioni, distinti i casi, siamo pronti per trovare i 20 poligoni possibili al variare di alcune variabili particolari (la lunghezza dei lati irrazionali e dei lati del rettangolo) e da questi scartare quelli non compatibili con il tangram, ottenendo così i 13 poligoni convessi cercati: