Mentre Stanislaw Ulam stava aspettando l'inizio di una conferenza presso i laboratori di Los Alamos, per passare un po' il tempo disegnò una griglia di linee orizzontali e verticali su uno dei fogli di appunti che si era portato dietro. Ulam, che era anche uno scacchista, all'inizio pensò di ideare un problema scacchistico, poi la sua mente andò in un'altra direzione e iniziò a scrivere all'intersezione delle linee un numero intero, partendo da 1 posto al centro della griglia.
Iniziò a disporli nella forma di una spirale e poi, una volta completata la griglia, iniziò a cerchiare i numeri primi, osservando come questi sembravano disporsi lungo linee dritte. Gli venne, così, in mente di capire cosa sarebbe successo riuscendo a realizzare una struttura con molti più punti all'interno della griglia.
Per fortuna di Ulam ai laboratori di Los Alamos erano dotati di un nastro magnetico (all'epoca i dati si registravano su delle bobine di pellicola dette nastri magnetici) su cui erano registrati i primi 90 milioni di numeri primi. Inoltre i ricercatori avevano a disposizione un supercomputer (super per l'epoca, ovviamente), MANIAC. Così, insieme con Myron Stein e Mark Wells, scrisse un programma per visualizzare sullo schermo del computer una spirale con tutti i numeri primi compresi tra 1 e 65000. Il risultato lo vedete nell'immagine qui sotto, tratta da The remarkable lore of the prime numbers di Martin Gardner, pubblicato nella sua rubrica dei Mathematical games su Scientific American 210:

Finita l'esibizione dell'organista, la bertuccia salta da una finestra all'altra per recuperare da ciascuno degli ascoltatori l'obolo da riportare nella cassa del suo padrone. Determinare il percorso migliore per la bertuccia, considerando che finisce il giro sulle spalle del musicista.

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Da Passatempi matematici vol. 2 di Sam Loyd a cura di Martin Gardner

Mentre mettevo a posto gli articoli per il Carnevale della Matematica #153, mi sono reso conto che vi devo un Paralipomeno, quello dedicato a Un incontro sul fiume. In quell'articolo vi proponevo due rompicapi di distanze tratti dal secondo volume dei Passatempi matematici di Sam Loyd, libricino curato da Martin Gardner. Il primo chiedeva di determinare la larghezza di un fiume conoscendo i punti di incontro di due traghetti che viaggiano a velocità differenti: 720 iarde rispetto alla sponda più vicina all'andata e 400 iarde al ritorno. In questo caso vi propongo la risoluzione dal punto di vista della fisica:
Prima di tutto fissiamo i dati a nostra conoscenza: $d_1$ è la distanza dalla prima sponda, 720 iarde; $d_2$ è la distanza dalla seconda sponda, 400 iarde; quindi la larghezza totale del fiume sarà $d = d_1 + x + d_2$. Inoltre i due traghetti restano fermi sulla sponda per un tempo $\Delta t$ necessario a far salire e scendere i passeggeri che è uguale per entrambi. Il nostro problema è, dunque, quello di determinare il valore di questa $x$.
Prendiamo il tempo impiegato dal traghetto più veloce per raggiungere il primo punto di incontro:

Prendiamo il quadrante di un orologio a lancette. Sono segnati dodici numeri, da 1 a 12. Scegliamone uno. Quindi, a partire da quello, ci spostiamo di tante posizioni quante sono le lettere della parola corrispondente a quel numero. Una volta giunti a destinazione ripetiamo l'operazione. E facciamo altrettanto la terza volta.
Su quale numero giungeremo alla fine? La risposta è sempre la stessa qualunque sia il numero di partenza: 1. Il gioco, però, funziona solo con i nomi inglesi dei dodici numeri dell'orologio. Con i nomi in italiano le cose vanno in maniera leggermente differente. Le domande a cui rispondere sono allora: dopo quanti passi ciascuna "catena" finisce sull'1? Ed esiste un numero su cui finiscono tutte le "catene" dopo lo stesso numero di passi?
Al di là di quali siano le risposte nel caso della lingua italiana, il gioco dell'orologio descritto poc'anzi è una variazione sul Kruskal Count, gioco con le carte ideato da Martin Kruskal.

Ricordate il rompicapo della mosca che vola tra due treni? E' passato qualche anno da allora, ma su quel tema si possono trovare diverse variazioni. Una di queste è sul secondo volume dei Passatempi matematici di Sam Loyd curato da Martin Gardner. Il rompicapo è espresso originariamente in iarde, con una iarda che corrisponde all'incirca a 0.9144 metri. Visto che i numeri presenti nel rompicapo sono interi, mi atterrò alle iarde senza convertirle in metri.
Le due rive di un fiume sono collegate da due traghetti, che però viaggiano a velocità differenti. Inoltre, una volta giunti sulla riva opposta, restano fermi per 10 minuti per consentire ai passeggeri di scendere e salire dal traghetto. All'inizio della giornata le due imbarcazioni partono contemporaneamente dalle rispettive rive e si incontrano a 720 iarde dalla riva più vicina. Al secondo viaggio, invece, l'incontro avviene a 400 iarde dall'altra riva. La domanda è: determinare la larghezza del fiume.
Il problema può essere risolto sia utilizzando esclusivamente la matematica, sia impostando le equazioni risolutive ragionando da fisici. In entrambi i casi si ottiene la stessa soluzione. La differenza tra i due approcci è che il primo è indubbiamente più veloce.

Come promesso, anche se con un certo ritardo rispetto a quanto pensavo, arrivano le soluzioni dei Rompicapi dedicati alle uova e ispirati a Cristoforo Colombo.
Nel primo bisognava disporre nove uova in modo da formare il numero maggiore possibile di file, ciascuna costituita da tre uova. Di seguito la disposizione con le linee di congiunzione che mettono in evidenza 9 delle 10 file possibili:

La pecora prese i soldi e li mise in una scatola: quindi disse: "Non metto mai la merce in mano ai clienti, non sta bene: devi prenderla da te". Detto ciò, andò dall'altra parte del negozio e mise l'uovo in piedi su uno scaffale.

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La leggendaria impresa di Cristoforo Colombo, riuscire a mettere fermo e in piedi un uovo, venne tramandata fino a noi grazie a uno scritto del 1565 di Girolamo Benzoni. L'esploratore, nonché storico, ricorda come Colombo sfidò alcuni nobili spagnoli a lasciare dritto sul tavolo un uovo, vincendo la scommessa semplicemente schiacciando in maniera leggera la base più larga dell'uovo. Esistono, però, anche altri metodi per ottenere lo stesso risultato. Ad esempio agitando l'uovo, in modo tale che il contenuto si amalgami e il centro di gravità totale diventi più stabile. Oppure si posiziona sul tavolo un mucchietto di sale, al cui centro si pone l'uovo. Quindi si toglie il sale poco alla volta utilizzando uno spazzolino con setole fini, fino a che non resta così poco sale da essere praticamente invisibile.
Intorno all'uovo di Colombo, usato più che altro come contesto narrativo, Sam Loyd sviluppò alcuni interessanti rompicapi. Ve ne presento tre, due tratti dal secondo volume dei Passatempi matematici curato da Martin Gardner e un terzo tratto da Il libro dei rompicapi di Alice di John Fisher (che tra l'altro da il nome a questa serie di articoletti). Iniziamo dai rompicapi che il piccolo Tommy propone a Re Cervellone.

Il problema più noto, in matematica, è ovviamente quello della quadratura del cerchio. Ne esiste, però, un altro, non esattamente analogo ma suo parente, che coinvolge rettangoli e quadrati, noto come la quadratura (o squadratura) del rettangolo. In effetti tale rompicapo, in realtà, è molto vicino ai classici problemi di tassellazione. Il problema è presto detto: è possibile ricoprire un rettangolo (o un quadrato) con quadrati più piccoli di dimensioni differenti? E' abbastanza ovvio che è possibile suddividere un rettangolo in tanti quadrati uguali a patto che i lati del rettangolo siano entrambi multipli del lato del quadrato scelto. La faccenda risulta un po' meno intuitiva nel caso in cui decidiamo di squadrare un rettangolo utilizzando quadrati diversi uno dall'altro. Il primo a riuscire in un'impresa del genere fu il matematico polacco Zbigniew Moroń che nel 1925 scoprì i primi due rettangoli di tal genere⁽¹⁾

Tutti conosciamo i cruciverba, anche detti parole crociate o incrociate. E' un rompicapo che si sviluppa su una griglia quadrata o rettangolare costituita da caselle bianche e nere. Nelle caselle bianche vanno inserite delle lettere in base a delle definizioni che sono legate a serie di celle orizzontali o verticali opportunamente numerate.
Alcuni rompicapi del genere vennero pubblicati tra il 1793 e il 1795 su The Stockton Bee, ma il primo esplicito riferimento a un "corss word puzzle" risale al 1862 su Our Young Folks, mensile statunitense per bambini e ragazzi. Altri rompicapi di questo genere, come il double diamond puzzle, comparvero sul St. Nicholas magazine, sempre statunitense, a partire dal 1873. Tra i primi cruciverba ci sono anche quelli ideati da Giuseppe Airoldi per Il Secolo Illustrato della Domenica a partire dal 14 settembre del 1890 con il titolo di Per passare il tempo. Quelli di Airoldi si sviluppanavono su una griglia 4x4 senza quadrati neri e con domande sia orizzontali sia verticali.
Il primo cruciverba con le caratteristiche più simili a quelle del cruciverba moderno venne, però, pubblicato il 21 dicembre del 1913 su New York World, ideato dal giornalista di Liverpool Arthur Wynne. Il cruciverba, però, è di fatto l'evoluzione di un altro rompicapo antecedente, il doppio acrostico. Prima di addentrarci nei misteri del doppio acrostico, vediamo velocemente cosa è un acrostico. Questi non è altro che un componimento poetico in cui le lettere o le sillabe o le parole iniziali compongono una parola o una frase di senso compiuto. Gli esempi più antichi a nostra disposizione sono contenuti nella Bibbia (ad esempio nei Salmi o nei Proverbi). Forse uno degli esempi più noti è la poesia An acrostic di Edgar Allan Poe.

Dopo il particolare triangolo di triangoli de Le grandi domande della vita di fine agosto, torno a occuparmi di triangoli con alcuni teoremi che sono anche rompicapi, o rompicapi che sono anche teoremi. Partiamo dalle basi. I triangoli sono delle figure di geometria piana (un poligono) costituite da tre punti non allineati collegati insieme da tre segmenti. In totale ogni triangolo è allora caratterizzato da 6 elementi, tre angoli e tre segmenti. Euclide, negli Elementi, propone al suo lettore i seguenti tre criteri di congruenza dei triangoli: che è dato come postulato dimostrabile a partire dal 5.o postulato, modificando il quale è possibile creare delle geometrie non euclidee E' possibile determinare altri tre criteri di congruenza, che hanno in comune con i tre precedenti di Euclide un semplice fatto: un triangolo è congruente a un altro se tre di questi sei elementi sono congruenti. Questo ci porterebbe a pensare che due triangoli che hanno cinque elementi congruenti sono a loro volta congruneti. Peccato che, come ha mostrato Richard Pawley, insegnante californiano di matematica, esistono dei triangoli di tal genere che non sono congruenti tra loro⁽¹⁾. L'unica possibilità per cui ciò può verificarsi è quanto i due triangoli hanno congruenti tra loro due lati e tutti e 3 gli angoli⁽²⁾. L'esempio più semplice di questo fatto è dato dai due triangoli nella figura qui sotto:

Gli ascensori sono stati uno dei primi elementi di discordia ne Il condominio di JG Ballard. In una lettura un po' più ottimistica per come sono andate le cose nel romanzo, si potrebbe dire che se i componenti del condominio fossero stati più addentro alla cultura matematica, probabilmente le cose sarebbero andate diversamente, perché magari sarebbe stato loro noto il famoso paradosso dell'ascensore. Il paradosso venne per la prima volta formulato nel 1958 da George Gamow e Marvin Stern nel loro libro di matematica ricreativa Puzzle-Math. I due lavoravano nello stesso edificio, ma su due piani diversi: Gamow al secondo piano di un palazzo di sette e Stern al sesto piano. Visto che i due collaboravano, a volte uno prendeva l'ascensore per andare nell'ufficio dell'altro. Così quando Gamow andava da Stern, notava che 5 volte su 6 l'ascensore che si fermava al suo piano proveniva dai piani alti, mentre l'ascensore che si fermava al piano di Stern l'ascensore all'incirca 5 volte su 6 proveniva dai piani bassi⁽²⁾.
Il problema venne successivamente ripreso da Donald Knuth prima nel 1969 nell'articolo The Gamow-Stern elevator problem uscito sul Journal of Recreational Mathematics. Il primo passo è abbastanza banale, ed è spiegato anche nel libro di Gamow e Stern: nel caso di un palazzo con un ascensore, la probabilità che l'ascensore si trovi sopra o allo stesso piano di Gamow è 5/6, mentre la probabilità che si trovi sotto è 1/6. Allo stesso modo per Stern la probabilità che l'ascensore si trovi sotto o al suo stesso piano è 5/6, mentre la probabilità che si trovi al di sopra è 1/6. E' qui, però, che Gamow e Stern commettono un errore, almeno secondo l'analisi compiuta successivamente da Knuth: le probabilità restano le stesse anche se aumentiamo il numero di ascensori⁽²⁾.

Samuel Loyd è stato uno scacchista, un compositore di scacchi e un ideatore di enigmi matematici. Il gioco più noto tra quelli a lui associati, però, non è stato ideato da Loyd, ma dal postino Noyes Palmer Chapman nel 1874: è il gioco del 15, diffuso da Loyd nel 1880 e quindi pubblicato postumo nell'edizione della Cyclopedia of Puzzles del 1914 curata dal figlio omonimo di Loyd.
Cresciuto a New York, pubblicò il suo primo problema scacchistico a 15 anni. Come giocatore ebbe una sola partecipazione degra di nota, a un torneo tenutosi a Parigi nel 1867, dove arrivo nono su 13 partecipanti.
Ben diverso il suo talento come compositore di problemi scacchistici: si concentrò principalmente sui problemi in tre o più mosse, tutti piuttosto originali. La caratteristica principale dei suoi problemi, però, è quella di partire da spunti umoristici o di proporre la soluzione sotto forma di storiella divertente.
In alcune occasioni creava dei problemi particolari, come ad esempio quello legato alla sfida per il titolo mondiale del 1866 tra l'austriaco Wilhelm Steinitz e il polacco Johannes Zukertort dove i pezzi formano le lettere Z e S, le iniziali dei cognomi dei due sfidanti.
Tra i suoi rimpicapi preferiti c'era il tangram, a proposito del quale pubblicò un libro contenente centinaia di configurazioni originali dei pezzi del gioco.
Da appassionato di rompicapi Martin Gardner non poteva, allora, lasciarsi sfuggire l'occasione di curare una raccolta di rompicapi di Loyd: nascono, così, i Passatempi matematici, che raccolgono alcuni dei rompicapi presenti in Cyclopedia of Puzzles. In particolare nel secondo volume della serie sono presenti un paio di rompicapi lunari.

Quest'oggi una puntata dei Rompicapi di Alice un po' composita che ricorda quasi una puntata de Le grandi domande della vita. Dedicata alla Luna, vede un intruso, l'arcobaleno, ma ha anche un ben deciso filo rosso: la geometria. Nella notte tra il 16 e il 17 luglio la Luna, che raggiungerà la sua fase di luna piena, sperimenterà una eclissi parziale. Dopo di che la sua fase sarà calante per raggiungere il terzo quarto il 25 luglio. Nel corso dei suoi cambi di fase, la Luna mostra ogni notte porzioni della sua faccia più piccole o più grandi a seconda che la fase sia calante o crescente. Queste fasi intermedie tra luna nuova e luna piena sono spesso dette mezzelune e vengono rappresentate come due archi di circonferenza. In realtà la figura geometrica che osserviamo nel cielo è un po' più complicata di così. Supponiamo (e tale supposizione è sufficientemente corretta, vista la distanza dalla nostra stella) che i raggi del Sole che colpiscono la Luna arrivino sulla sua superficie paralleli. QUesti raggi illuminano così una porzione della Luna, che nel suo complesso è approssimabile a una sfera. Quindi la porzione illuminata dai raggi è una emisfera così come la porzione in ombra. Questo implica che la superficie di separazione tra i due emisferi è una circonferenza, generata dall'intersezione tra il piano perpendicolare ai raggi solari e la sfera lunare che viene tagliata da questo piano. A causa dell'angolazione sotto la quale osserviamo la semicirconferenza della parte rivolta verso la Terra, questa curva in realtà risulta essere una semiellisse, ovvero una ellisse tagliata a metà lungo il suo asse maggiore.

Il termine anamorfico è costituito dalle due parole greche ana, di nuovo, e morphe, forma. Viene utilizzato per indicare una particolare forma d'arte, l'arte anamorfica, ovvero una particolare distorsione delle forme prodotta attraverso un'opportuna trasformazione di proiezione. Per ripristinare l'oggetto deformato si utilizza uno specchio particolare, generalmente di forma cilindrica, posto al centro dell'immagine distorta. In questo modo l'immagine riflessa sullo specchio cilindrico coincide con quella originariamente distorta⁽¹⁾.
Probabilmente l'arte anamorfica era nota anche agli artisti greci: narra infatti la leggenda che gli scultori Alcamene e Fidia si sfidarono in una gara a chi sarebbe riuscito a realizzare la più bella scultura di Minerva. Una volta finita, la statua di Alcamene era molto bella, mentre quella di Fidia mostrava delle proporzioni distorte. Una volta montate sui pilastri, la visione prospettica delle statue rese quella di Fidia bellissima rispetto a quella di Alcamene.

Potrebbe essere una domanda più adatta a Le grandi domande della vita, ma visto che sorge sulle colonne della storica rubrica Mathematical games di Martin Gardner sul quarto numero del 1965 di Scientific American direi che può benissimo trovare spazio tra i Rompicapi di Alice.
In particolare la questione è:

è possibile tagliare un cubo in un numero infinito di altri cubi più piccoli nessuno dei quali identico a un altro?⁽¹⁾

La risposta è: no. E per capirlo ragioniamo per assurdo. Supponiamo, cioè, che sia possibile "cubizzare un cubo". Prendiamo la prima delle figure proposte da Gardner nel suo articolo.

Era il 1986 quando Christopher Langton propose di utilizzare una formica per studiare la biochimica della vita⁽¹⁾. La formica di Langton, però, non era una vera e propria formica, ma un automa cellulare. Prima di vedere come funziona la proposta di Langton, vale la pena introdurre gli automi cellulari e, tra questi, ilpiù famoso di tutti, il gioco della vita di Conway. Tutto ebbe inizio a Los Alamos con John von Neumann e Stanislaw Ulam. I due stavano studiando, rispettivamente, i sistemi autoreplicanti il primo e la crescita dei cristalli il secondo.
Il progetto iniziale di von Neumann si basava sull'idea di un robot in grado di costruire un altro robot: sviluppando questo progetto, il matematico si rese conto dei problemi insiti in esso, come il costo eccessivo nel fornire al robot le molte parti necessarie per costruire un altro robot a lui identico.
L'idea di Ulam di utilizzare un modello discreto per l'autoreplicazione in qualche modo venne ripresa dai due matematici quando, sul finire degli anni Cinquanta, crearono un modello per calcolare il movimento di un liquido. Essi consideravano il liquido come un gruppo di unità discrete e calcolavano il moto di ciascuna unità in base al comportamento dei vicini: nasceva il primo sistema di automi cellulari.
I due realizzarono un sistema in grado di copiare e costruire dalle celle di partenza in funzione di alcune regole base sulla vicinanza⁽²⁾. Tale sistema sarebbe stato in grado di realizzare un numero infinito di copie di se stesso all’interno dell’universo cellulare dato: questo è il così detto costruttore universale di von Neumann.

"Ho comprato delle uova dal droghiere, e le ho pagate dieci centesimi" raccontò la cuoca, "ma poiché erano molto piccole gli ho chiesto di aggiungerne due in regalo. In questo modo, le uova mi sono venute a costare un centesimo di meno, per dozzina, rispetto al prezzo iniziale".
Quante uova ha comprato la cuoca?
(da Passatempi matematici, vol.2 a cura di Martin Gardner, traduzione di Roberto Morassi)

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Equazione risolutiva: \[\frac{12}{n} \cdot 12 = \frac{12}{n+2} \cdot 12 + 1\] con $n$ numero di uova acquistate.

Il party del Cappellaio Matto, variazione umoristica sui tea party vittoriani, è una delle scene più divertenti in Alice nel Paese delle Meraviglie, ed è anche un interessante concentrato di matematica, ora interpretabile come un letterale riferimento al tempo, ora come un riferimento alla matematica dei quaternioni.
I partecipanti alla festicciola, però, ovvero il Cappellaio, insieme con la Lepre Marzolina, il Ghiro e Alice, cambiano ogni tanto il loro posto intorno alla tavola circolare su cui sono poste le tazze.
Una possibile variazione sul testo carrolliano che il Cappellaio sembra abbia proposto ad Alice, nota appassionata di giochi matematici, è la seguente:

Partiamo con tante tazze quante sono le persone. Le tazze vengono sistemate in cerchio e ogni persona siede all'interno della propria tazza.
Alla fine del primo giro, si alzano tutti, una delle tazze viene rimossa, quindi tutti si siedono in un nuovo posto. Ogni tazza deve essere occupata da almeno una persona, così al secondo giro ci sarà una tazza con due persone all'interno. Dopo questo giro un'altra tazza scompare e alla fine, quando c'è giusto una tazza, nessuno sarà solo!⁽¹⁾

Ovviamente il gioco del Cappellaio riesce meglio se si utilizzano le tazze giganti di una giostra, a meno di non utilizzare i biscotti cambia dimensioni. Ad ogni modo, Alice, alla fine della descrizione del gioco, si chiede:

A volte i figli sono anche pezzi di matematica

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Prendiamo un noto dilemma matematico, il problema di Monty Hall nella formulazione data da Craig F. Whitaker nel 1990 in una lettera indirizzata alla rivista Parade per la rubrica di Marilyn vos Savant⁽¹⁾:

Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere fra tre porte: dietro una di esse c'è un'automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un'altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: "Vorresti scegliere la numero 2?" Ti conviene cambiare la tua scelta originale?

Se esaminiamo il problema da un punto di vista probabilistico, otteniamo che cambiando porta ci sono i 2/3 di probabilità di vincere l'auto mentre mantenendo la scelta iniziale la probabilità è di 1/3. E' un problema abbastanza noto e ben esaminato, citato anche in alcuni romanzi, due dei quali ho anche avuto l'ardire di leggere (Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte di Mark Haddon e PopCo di Scarlett Thomas), ma ne esiste una variante interessante: supponiamo che il conduttore non conosca cosa si nasconda dietro ciascuna porta. In questo caso quando il conduttore aprirà una delle altre porte, avrà probabilità 1/3 di trovare l'automobile, e nel caso (fortunato per il concorrente) in cui dietro la porta aperta si nasconde una delle due capre, allora la probabilità di trovare l'automobile, sia che si cambi porta sia che si resti su quella scelta in origine, resta 1/2.
Cosa c'è di diverso tra di due casi?
Un modo per capirlo è esaminare il problema dei figli, formulato per la prima volta nel 1959 da Martin Gardner⁽³⁾.

Come ha ricordato Maurizio Codogno è stato il centenario di Martin Gardner. Recupero oggi con la traduzione di un articolo di David Singmaster uscito su "Nature" nel 2010 come ricordo per la figura di riferimento che ha rappresentato per moltissimi lettori, amanti della matematica e matematici professionisti.

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Dalla metà degli anni '50 fino ai primi anni '80 del XX sexolo, probabilmente la più nota sezione di Scientific American è stata Mathematical games di Martin Gardner. Come riconoscimento del suo successo, tre eminenti matematici dedicarono il loro libro del 1982 Winning Ways for Your Mathematical Plays a Gardner, che, scrivevano, "ha portato più matematica a milioni di chiunque altro". Eppure Gardner non era un matematico. La sua unica laurea era in filosofia.
Gardner, morto il 22 maggio [2010] all'età di 95 anni, era nato a Tulsa, in Oklahoma, da una madre metodista e un padre geologo. Si è avvicinato alla matematica, alla scienza, alla magia e alla scrittura sin da giovanissimo, e pubblicò una New color divination (una divinazione a colori) in un giornale di magia già a 16 anni. Voleva andare al California Institute of Technology a Pasadena, ma negli anni '30 l'ingresso al Caltech richiedeva innanzitutto il completamento di due anni in una scuola di arti liberali. Invece, Gardner andò all'Università di Chicago nell'Illinois e studiò filosofia, laureandosi nel 1936.
Dopo vari lavori, incluso l'assistente al monitoraggio del petrolio per il Tulsa Tribune, e dopo quattro anni in marina, Gardner ritornò a Chicago e iniziò a scrivere brevi storie per l'Esquire, spendendo la maggior parte del suo tempo libero a inventare, dimostrare e vendere trucchi magici. Nel 1947, trovò posto a New York come editor dell'Humpty Dumpty, una rivista per ragazzi, e nello stesso anno scrisse un articolo sulle macchine logiche per Scientific American.
Nei primi anni '40, quattro laureandi di Princeton, tra cui Richard Feynman, avevano trovato il modo di piegare una striscia di carta in un esagono che poteva poi essere manipolata per mostrare diverse facce esagonali. Gardner sentì parlare di questi 'flexagoni' e guidò fino a Princeton per parlare con i due studenti che erano ancora lì. Il suo articolo sui flexagoni è stata accettata da Scientific American per l'edizione del dicembre 1956, e, grazie a ciò, nel numero successico, Gardner iniziò la sua rubrica Mathematical games con un articolo sui quadrati magici. Le sue lacune in matematica formale si rivelarono il suo punto forte: lavorare lentamente e con attenzione sulle idee lo ha aiutato nello spiegarle.