Forse una delle domande più interessanti tra quelle cui sono incappato nell'ultimo periodo su Quora: la differenza tra \(\pi\) e la costante di Chaitin in termini di computabilità.
La costante di Chaitin, introdotta da Gregory Chaitin, è stata una delle protagoniste del bel volume Darwin alla prova, testo sull'evoluzione, ma anche sulla matematica, e successivamente ne ho scritto all'interno del post sull'immortalità quantistica.
Vale, però, la pena rivedere la sua definizione.

Quando uscì l'Astrocuriosità di marzo 2024 non potevo immaginare che il record delle cifre decimali del pi greco sarebbe stato battuto di lì a poco, il 14 marzo del 2024, da Jordan Ranous, Kevin O’Brien e Brian Beeler, che poi avrebbero raddoppiato il numero di cifre pochi mesi più tardi, il 28 giugno, anche questa data significativa essendo il tau day. Tra l'altro già Ranous il 18 aprile del 2023 aveva replicato il record di 10¹⁴, ovvero 100 trilioni di cifre decimali del \(\pi\) raggiunto il 21 marzo del 2022 da Emma Haruka Iwao, che avevamo già incontrato in Universo pi insieme con i fratelli Chudnovsky.

42 è la risposta fondamentale alla domanda fondamentale. Il problema è che la domanda è andata perduta e va dunque ritrovata. Su questo caposaldo umoristico si fonda Guida galattica per autostoppisti di Douglas Adams, diventato un mantra, più che un meme, per tutti gli appassionati di questa saga. Grande protagonista di questa ricerca fondamentale è Pensiero Profondo, il computer preposto a trovare la risposta. Ma, appunto, non la domanda.
Allo stesso modo il nuovo volume di Paolo Caressa è dedicato al rapporto tra la matematica e il computer e chissà, magari la scelta di far uscire proprio questo titolo come 42.ma uscita della collana è proprio ispirato a questo legame con il 42. A usare questo legame pop, però, non è Caressa nel suo testo, ma il buon Maurizio Codogno, che nei giochi matematici prosegue con quanto iniziato sul volume precedente, ovvero la spannometria. Veniamo, però, al testo principale di Caressa.

Torna su Topolino una storia griffata Topolino Comics&Science. Rispetto alle precedenti alla "macchina da scrivere" non troviamo né Vitaliano, né Artibani, ma Marco Bosco, affiancato ai disegni da Giampaolo Soldati, che propone una classica storia ambientata nel deposito con l'ennesimo problema affaristico per Paperone. A risolverlo ci pensa la sua società di informatica, progettandogli un computer quantistico. In effetti nei suoi elementi essenziali, la storia presenta un soggetto già utilizzato un paio di anni fa da Alessandro Sisti, per cui vi rimando là ai dettagli tecnici della faccenda. La storia, di per sé abbastanza gradevole, ha indubbiamente il pregio di raccontare in maniera semplice alcuni dei prinicipi base dietro il calcolo quantistico. Dall'altro c'è da dire che l'uso che ne fa Paperone è indubbiamente un po' limitato rispetto alle potenzialità che potrebbe avere un computer del genere e forse la storia di Sisti, per quando meno didattica, era per certi versi più visionaria. Inoltre il problema affrontato da Paperone è ben lontano dall'essere anche solo paragonabile a quello dei big data, che viene sfiorato dalla storia di Bosco senza però essere presentato in maniera esplicita. Mentre cerco di capire se l'abbassamento della qualità in favore di una storia forse più centrata sulla questione scientifica possa essere di maggior efficacia, passo alla prossima storia, la seconda del sommario.

Continuo a farmi ispirare dalle domande rivolte a Gabriella Greison (trovate il link alla sua pagina all'interno di questo post di Stefano Marcellini) anche in questa nuova puntata de Le grandi domande della vita. In questo periodo si parla molto di computer quantistico, e questo genera indubbiamente confusione, ma anche curiosità, tanto che alla fine ci si potrebbe legittimamente chiedere quanta meccanica quantistica c'è nei computer che usiamo goni giorno.
Tutto inizia nel 1949 quando il fisico Werner Jacobi, al tempo al lavoro nei laboratori della Siemens, brevettò un primo circuito integrato, costituito da cinque transistor.
Il transistor è un dispositivo basato sui semiconduttori. Questi ultimi sono dei materiali particolari, che hanno delle proprietà, come suggerisce il loro nome, intermedie tra conduttori e isolanti.
Ed è qui che entra in gioco la meccanica quantistica, perché ci fa capire in che modo funzionano i semiconduttori. Ne scrissi in occasione del premio Nobel per la fisica del 2014, per cui qui mi limito semplicemente a riassumere un po' la situazione. Esistono due bande particolari negli elementi chimici che ci permettono di distinguere tra metalli e isolanti, la banda di conduzione e quella di valenza. Mentre negli isolanti queste due bande sono nettamente separate, nei metalli la banda di conduzione è attraversata dal così detto livello di Fermi, che assume una certa importanza proprio nei semiconduttori.
In questi materiali, infatti, una tra la banda di valenza e quella di conduzione è più vicina al livello di Fermi rispetto all'altra, permettendo così più facilmente agli elettroni di quella banda di saltare verso l'altra tramite il gradino intermedio del livello di Fermi.

I campi per i quali Nicholas Metropolis, fisico greco nato l'11 giugno del 1915, è più noto sono la fisica nucleare e la computazione. Dopo la laurea nel 1937 e il dottorato nel 1941, entrambi in fisica presso l'Università di Chicago, venne reclutato da Robert Oppenheimer per lavorare al Progetto Manhattan a Los Alamos al fianco di Enrico Fermi e Edward Teller.
Dopo la seconda guerra mondiale, ritorna presso l'Università di Chicago come professore assistente, ma nel 1948 ritorna a Los Alamos per guidare il gruppo di teorici che progettano e costruiscono MANIAC I nel 1952 e MANIAC II nel 1957. MANIAC, Mathematical Analyzer, Numerical Integrator, and Computer or Mathematical Analyzer, Numerator, Integrator, and Computer, è basato sulla macchina IAS di John von Neumann, che non amava l'acronimo scelto da Metropolis. Quest'ultimo l'aveva scelto nella speranza, inevasa, di fermare la proliferazione degli acronimi per nominare i computer. La macchina pesava poco meno di mezza tonnellata e venne utilizzata per portare a termine i calcoli più precisi possibile relativi alle reazioni termonucleari. Utilizzava oltre 2800 tubi a vuoti e 1000 diodi a semiconduttori. Basato sulla fisica dello stato solido, era in grado di memorizzare 4096 parole da 48 bit nella memoria magnetica e 12288 nella memoria costituita da tubi di Williams.
Dal 1957 al 1965 Metropolis ricoprì il ruolo di professore di fisica presso l'università di Chicago, dove fondò l'Institute for Computer Research, di cui fu anche direttore. Nel 1965 tornò a Los Alamos come Laboratory Senior Fellow fino al 1980.
Altro importante contributi di Metropolis fu lo sviluppo del metodo Monte Carlo insieme, tra gli altri, a von Neumann e a Stanislaw Ulam⁽¹⁾. Il metodo Monte Carlo è un approccio statistico per risolvere problemi deterministici a molti corpi. La prima applicazione di tale metodo la ritroviamo in un articolo del 1953, firmato tra gli altri proprio da Metropolis, dove era per la prima volta proposta una simulazione numerica di un liquido⁽²⁾.

Home computers were a class of microcomputers entering the market in 1977, and becoming common during the 1980s. They were marketed to consumers as affordable and accessible computers that, for the first time, were intended for the use of a single nontechnical user. These computers were a distinct market segment that typically cost much less than business, scientific or engineering-oriented computers of the time such as the IBM PC, and were generally less powerful in terms of memory and expandability. However, a home computer often had better graphics and sound than contemporary business computers. Their most common use was playing video games.

Alle volte mi capita di utilizzare l'applicazione per Android Wondershare Panorama, con la quale si riescono a fare delle comunque buone foto panoramiche. Certo si potrebbe fare meglio, non solo usando delle macchine (e delle tecniche) professionali, ma anche rispetto alle usuali camere più avanzate in commercio: infatti queste, a partire dalle camere incluse negli smartphone, hanno un'apertura che spazia in un range tra 1 e 10 megapixel⁽¹⁾. In teoria⁽²⁾ saremmo già stati in grado, un èpo' di tempo fa, di aggiornare questi limiti. Se definiamo $SW$ come il limite superiore per il numero di canali che possono essere gestiti in parallelo⁽²⁾, dopo un po' di calcoli, Adolf W. Lohmann ha scoperto che senza aberrazione, questa dovrebbe aumentare con dipendenza quadratica dal fattore di scala $M$⁽²⁾. Questo risultato è differente da quello dell'ottica geometrica, che stabilisce che $SW$ è indipendente dal fattore di scala.

Questo risultato non può essere realistico, altrimenti, i sistemi con lenti a lunghezza focale molto lunga sarebbero piuttosto inutili. In pratica, le aperture di questi sistemi lunghi sono ridotte, più o meno secondo la regola empirica⁽²⁾

Ora un gruppo di ricercatori ha sviluppato un nuovo sistema fotografico in grado di risolvere fino a 50 gigapixel: AWARE-2⁽¹⁾.
Per comprendere meglio delle possibilità di questo sistema, vi metto qui sotto le foto diffuse nell'articolo uscito su Nature⁽¹⁾:

Possiamo definire la seconda guerra mondiale una guerra totale un po' in tutti i sensi, non solo per l'uso dei più disparati mezzi belluci, o per la provenienza praticamente mondiale dei soldati e dei luoghi di battaglia, ma anche per l'importante coinvolgimento degli scienziati.
Se il gruppo di Oppenheimer negli Stati Uniti, al lavoro sul Progetto Manhattan, è il gruppo più noto, soprattutto a causa del suo coinvolgimento nella costruzione della bomba "atomica", ha avuto una grande importanza, se non addirittura superiore, il gruppo di crittografi britannici che riuscirono a scardinare il codice alla base della macchina tedesca Enigma, lo strumento utilizzato dai nazisti per scambiarsi le informazioni. Il merito maggiore in questa vittoria va sicuramente al capo del gruppo, colui che progettò la macchina in grado di battere Enigma: Alan Turing. Alan possedeva una mente brillante, un carattere timido e un corpo ben allenato (tra le tante foto a nostra disposizione, ce ne sono alcune che lo ritraggono in tenuta da corsa!) e certo se c'è una persona che è l'emblema di come le inclinazioni e gli interessi che nascono nell'infanzia riescono a generare buoni frutti nelle età successive questa è certamente Alan Turing. Da quello che infatti ha raccontato la madre sul suo figlio così geniale e al tempo stesso sfortunato, da bambino Alan, secondogenito di Julius ed Ethel Sara Turing, erafortemente interessato ai numeri in quanto tali e all'invenzione di parole nuove, non presenti nel dizionario. Mostrava anche un certo interesse per la natura, tanto che è emblematico un disegno della madre che lo rappresenta durante una partita di hockey dal titolo esplicativo L'hockey, ovvero Guardar crescere le margherite. E in effetti la mente geniale e poliedrica del giovane Alan, crescendo, prese ad interessarsi proprio di logica, matematica, crittogrammi, macchine e biologia. Forse la scintilla finale del suo motore cerebrale venne posta da Natural wonder that every child should know di Edwin Tenney Brewster, dove biologia, evoluzione e natura vengono spiegate utilizzando il parallelismo della macchina. Forse è in questo modo che si possono sintetizzare tutti gli sforzi di Turing come ricercatore, quel tentativo di capire attraverso rappresentazioni schematiche (e semplici) la realtà, partendo dal cuore stesso dell'uomo, il suo cervello (con le ricerche sull'intelligenza artificiale) fino alle strutture presenti in natura (come le trame sulle pelli degli animali, come vedremo più avanti).
Dopo un primo periodo nelle scuole pubbliche, comunque, anche a causa di alcuni problemi con l'insegnante di matematica, i genitori decisero di mandarlo alla scuola privata di Sherborne e ciò, per molti versi, fu una bella fortuna per Alan: non solo l'ambiente era molto più stimolante, ma è anche qui che Turing conobbe Christipher Morcom, il suo primo vero amico nonché suo primo amore. Rimase, però, il rapporto puramente platonico e ancora allo stato di amicizia, per quanto profonda soprattutto da parte di Alan, a causa della morte prematura di Christopher a causa della tubercolosi. Il lutto lasciò Alan distrutto e gli impedì, soprattutto, di ricevere un probabile rifiuto, lasciandogli, secondo David Leavitt, un'idea piuttosto romantica dell'amore⁽¹¹⁾.
Ad ogni modo, superato il lutto, Alan nel 1931 si iscrive al King's College di Cambridge, scelta sicuramente molto più felice rispetto al Trinity: quest'ultimo, infatti, era un'istituzione non solo moralmente ma anche scientificamente più rigida e tradizionalista rispetto al King, e per un ragazzo che era pronto a mettere in dubbio anche gli assiomi più consolidati fu importante essere arrivato nell'ambiente giusto, anche perché il suo primo lavoro importante, On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem⁽¹²⁾, aveva come base e risultato proprio una messa in dubbio di uno dei punti fondamentali del programma tracciato da Hilbert nel 1900: dare alla matematica delle fondamenta solide e certe, o per dirla con Leavitt, trovare un algoritmo che decida la validità di una data formulazione del primo ordine⁽¹¹⁾.
Per capire l'essenza del lavoro di Turing basta leggere l'introduzione, iniziando dalla definizione di numeri computabili, ovvero quei numeri che

(...) possono essere descritti brevemente come i numeri reali le cui espressioni decimali sono calcolabili in modi finiti.

Tutto il lavoro potrebbe essere svolto utilizzando le funzioni computabili, ma utilizzare i numeri computabili avrebbe permesso a Turing di utilizzare la tecnica meno ingombrante.

Secondo la mia definizione, un numero è computabile se i suoi decimali possono essere scritti da una macchina.

La classe dei numeri computabili è molto ampia, ma un po' come le classi di numeri che possiamo definire cercando di affrontare, come Cantor, il problema dell'infinito, non contiene tutti i numeri che siamo in grado di definire. Alcuni numeri infatti, pur se definibili, non sono computabili (fanno comunque parte dei computabili anche numeri trascendenti, come $\pi$, $e$ numero di Nepero, ad esempio). Inoltre questa classe di numeri è anche numerabile, come l'infinito dei numeri naturali, per intenderci. Esaminando alcuni argomenti a supporto e contrari alla numerabilità dei computabili, Turing arriva agli stessi risultati di Godel riguardo il problema della decisione (l'Entscheidungsproblem), ovvero la sua insolubilità: è una di quelle affermazioni che, per dirla alla Godel, è indecidibile.
Poiché anche Alonzo Church raggiunse risultati simili utilizzando l'idea dell'effettiva calcolabilità, ciò che ha grande importanza e interesse nell'articolo di Turing, oltre all'importante conferma di quanto già dimostrato per primo da Godel,. è nella definizione di macchina calcolatrice, nella sua descrizione e nel suo funzionamento, creando di fatto il più incredibile e, dal punto di vista matematico, efficiente esperimento mentale mai realizzato. Turing, infatti, non pensava che una tale macchina potesse essere realmente costruita e probabilmente solo quando iniziò realmente a pensare di costruirla, iniziò il forte interesse verso l'intelligenza artificiale, che ritroviamo ad esempio nei suoi eredi che si occupano di reti neurali.

Il primo giorno dell'anno, insieme a un po' di gente, sono andato alla Galleria Nazionale di Palazzo Arnone a Cosenza a visitare una mostra stupefacente (lo stupore era dovuto al fatto di essere a Cosenza), insertcoin, una mostra dedicata all'informatica del tempo che fu e ai giochi.
L'esordio della mostra è in puro stile geek con questo vero e proprio pezzo da museo e con una telescrivente collegata alla rete per inviare un po' di tweet in giro per il mondo! C'erano poi altre robine interessanti, come ad esempio il Pong o il Pac-Man, dove mia sorella è riuscita a vincere il primo livello: Vincere il primo livello non è semplice come si crede, in particolare a causa del joystick, che innanzitutto non è certo sensibile come quello moderno, e poi bisogna esserci abituati, e finora a Pac-Man abbiamo giocato solo con le freccette (la forza del progresso tecnologico nel campo). E poi c'è la questione degli algoritmi di comportamento dei quattro fantasmini. Ma partiamo dall'inizio:
Pac-Man è un gioco ideato da Tohru Iwatani della Namco e uscito come arcade nel 1980. Le motivazioni per creare un gioco di questo tipo vengono spiegate dallo stesso Iwatani:

All the computer games available at the time were of the violent type - war games and space invader types. There were no games that everyone could enjoy, and especially none for women. I wanted to come up with a “comical” game women could enjoy.⁽¹⁾

Il gioco si svolge all'interno di un labirinto disseminato da piccoli semi gialli e da quattro super semi che devono essere mangiati da Pac-Man per vincere ciascun livello. Suoi avversari sono quattro fantasmini di quattro colori diversi. All'inizio del gioco questi fantasmi si trovano tre all'interno di una scatola centrale, la casa, e uno a presidiare la porta esterna. Subito dopo l'inizio i quattro iniziano la caccia a Pac-Man, che ha come ulteriore compito quello di sfuggire ai suoi inseguitori. Unica eccezione durante la quale i ruoli si invertono è quando il nostro personaggio mangia uno dei super semi: in quel caso i fantasmini cambiano colore e possono essere mangiati da Pac-Man fino a quando non ritornano nella condizione originale. Il passaggio da preda a cacciatore avviene attraverso una fase oscillante, durante la quale il colore del fantasma cambia velocemente da quello di preda a quello di cacciatore e viceversa: i fantasmi possono ancora essere mangiati, durante la vibrazione, ma Pac-Man corre il rischio di addentarlo proprio nell'istante in cui ritornano cacciatori. Di un fantasma mangiato, invece, restano solo gli occhi, che oscillano verticalmente e si muovono verso la casa, dove restano in attesa di rigenerarsi.

La rivoluzione che Riemann portò nella matematica va al di là della semplice ipotesi che porta il suo nome. I suoi principali contributi possono essere considerati quelli nella geometria, in particolare nell'aver imposto all'attenzione dei suoi colleghi le così dette geometrie non-euclidee, ovvero quel tipo di geometrie che differiscono da quella Euclidea ad esempio perché non si svolgono lungo un piano ma lungo una superficie sferica. Questa rivoluzione portò la matematica, e con essa anche la fisica, nel XX secolo: in effetti uno dei matematici più apprezzati che operò a cavallo tra XIX e XX secolo, Henri Poncaré, fu inevitabilmente influenzato da Riemann e dalla sua nuova matematica.
Georg Friedrich Bernhard Riemann nacque il 17 settembre 1826 a Breselenz, in Germania. Secondo genito della coppia Friedrich Bernhard Riemann, pastore luterano, e Charlotte Ebell, non visse certo nell'oro, soprattutto considerando che in totale i genitori di Georg ebbero 6 figli, 4 femmine e 2 maschi, dei quali solo la maggiore, Ida, ebbe una vita tutto sommato lunga per i canoni dell'epoca. D'altra parte lo stesso Riemann, timodo, tranquillo e schivo, ebbe una salute non proprio di ferro: non a caso, insieme con la moglie Elise Koch, amica della sorella Ida, negli ultimi anni di vita decise di trasferirsi in Italia, paese dal clima più mite, dove morì nel luglio del 1866 a Selesca sulle rive del Lago Maggiore.
Gli anni giovanili, dedicati allo studio, trascorsero prima ad Hannover e poi a Lunenburg, dove il preside della locale scuola superiore, tale Schmalfuss, sembra che incoraggiò l'interesse di Riemann verso la matematica, probabilmente prestandogli testi di matematica avanzata, tra cui il Théorie des Nombres di Adrien-Marie Legendre, volume che, narra la leggenda, Georg imparò a memoria dopo appena una settimana!
L'episodio, al di là della sua veridicità, illustra comunque il talento mnemonico prodigioso del giovane Riemann, un talento che, grazie al rigore matematico, riuscì a mettere a frutto per far avanzare di grandi la disciplina che in quel tempo vedeva in Gauss il suo massimo esponente e in Gottinga l'Università più prestigiosa d'Europa.
In effetti a Gottinga Riemann andò non per studiare matematica, ma teologia, per seguire le orme del padre, dunque. Però dopo appena un anno il nostro seguì le sue inclinazioni e passò così allo studio della matematica. Dopo la laurea e la partecipazione ai moti del 1948, conseguì il dottorato a Berlino (1851) per poi ottenere il posto da associato (1857), che diventa anche il suo primo stipendio stabile, e successivamente da ordinario (1859) a Gottinga.
Sebbene la sua carriera accademica si svolse principalmente a Gottinga, una parte molto importante nella sua formazione la ebbe il periodo berlinese, durante il quale, tra gli altri, ebbe modo di conoscere e studiare sotto la guida di Lejeune Dirichlet, con il quale entrò in grande sintonia, come si capisce leggendo quanto scrive Felix Klein a tal proposito:

Il legame tra Riemann e Dirichlet fu subito forte, grazie alla profonda affinità del loro modo di pensare e ragionare. Dirichlet amava chiarire dapprima le cose a se stesso, procedendo per via immediatamente intuitiva; in seguito, analizzava con logica penetrante le questioni fondamentali, ma evitava il più possibile lunghi calcoli. Questo suo modo di procedere piaceva a Riemann, che lo fece proprio e lavorò seguendo i metodi di Dirichlet.⁽¹⁾

E' con questo metodo che, ad esempio per il dottorato, propose una tesi dal titolo Sulla rappresentabilità di una funzione mediante una serie trigonometrica, alla quale doveva affiancare una dissertazione su uno tra tre argomenti che lo stesso Riemann doveva proporre e che la commissione avrebbe scelto. E Gauss, il presidente della commissione, scelse per una discussione geometrica dal titolo Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria: è su questo lavoro che vennero poste le basi della geometria non-euclidea!
L'altro grande capolavoro riemanniano è però l'ipotesi che porta il suo nome e che venne descritta dallo stesso Riemann nel discorso di accettazione del posto da ordinario, per poi diventare un articolo dal titolo Sul numero dei primi minori di una grandezza data. Quel discorso iniziava così:

Per sistema distribuito si intende un insieme di computer autonomi che comunicano in una rete per ottenere un obiettivo comune. Quindi il massimo insieme indipendente (Maximal Independent Set, MIS) è un soggetto all'interno di un sistema distribuito. D'altra parte cosa si intende per MIS?

Nella teoria dei grafi, un massimo insieme indipendente o il massimo insieme stabile (maximal stable set) è un insieme indipendente che non è sottoinsieme di un altro insieme indipendente.

Degli esempi sono meglio delle parole, ed eccoli tratti da Commons (pubblico dominio) sul grafo di un cubo:
Come si può vedere ogni MIS è costituito da punti che non sono adiacenti (conserviamo l'informazione).
L'obiettivo del problema del massimo insieme indipendente è trovare la dimensione massima del MIS in un dato grafo o rete. In altre parole il problema è cercare i leader in una rete locale di provessori connessi, dove per leader possiamo intendere un nodo attivo connesso con un nodo inattivo, come nell'esempio.
Un problema di questo genere è di tipo NP (giusto per avere un'idea della complessità della questione).
Secondo Afek, Alon, Barad, Hornstein, Barkai and Bar-Joseph,

nessun metodo è in grado di ridurre efficientemente la complessità di un messaggio senza assumente della conoscenza sul numero dei vicini.

Una rete simile a quella di cui si sta parlando, però, si ritrova anche nei precursori delle setole sensoriali della mosca, così l'idea dei ricercatori è di utilizzare i dati provenienti da questa rete biologica per risolvere il problema computazionale da cui siamo partiti.
Un tale sistema da ora in poi sarà indicato come SOP, sensory organ precursors, i precursori degli organi sensoriali.

La cascata di Escher

Era passata da poco la metà di febbraio quando esplose la mania per un video molto particolare, proposto ai suoi lettori, tra i primi, dal grande Paolo Attivissimo⁽¹⁾. Nel video potete apprezzare come venga realizzato un modellino funzionante della famosa Cascata di Escher.
Nel seguito, lungo (mettetevi comodi), esaminerò la matematica necessaria per simili costruzioni, ma anche quella che serve ai programmatori per poterle realizzare anche digitalmente. Ben lungi dall'essere omni-comprensivo, questo nuovo appuntamento con i Rompicapi cercherà semplicemente di gettare uno sguardo nel mondo della geometria proiettiva. In questo senso possiamo considerare conclusa la trilogia degli articoli sulla matematica fiabesca inaugurata da Lucia con i suoi due articoli su Alice nel Paese delle Meraviglie (parte 1, parte 2).
Bando, però, alle ciance, iniziamo il nostro viaggio, che parte in Giappone con il primo tentativo, riuscito, di riprodurre realmente la cascata di Escher ad opera dell'artista nipponico Shigeo Fukuda (vedi anche Illusion Works).

Modellino reale della Cascata di Escher di Fukuda
(su Impossible sculptures)

E' anche disponibile un video che mostra i dettagli del modellino.

(download)

Potrete dunque immaginare quale sia stato il mio stupore nel vedere la soluzione di David Goldman su Boing Boing (via Scientificando, Gravità Zero):

L'idea di Goldman, quindi, non è poi così vecchia e soprattutto è fattibile, anzi è già stata fatta! Non escludo, anzi, che lo studente tedesco conosca la realizzazione di Fukuda. Ci si potrebbe, però, chiedere, se è possibile, indipendentemente dalla presenza di acqua o meno, riuscire a costruire una struttura continua come questa o come le scale di Escher. A fornirci una risposta sostanzialmente positiva è Kokichi Sugihara, di cui avevo presentato il video vincitore del Best Illusion of the Year 2010.
In Spatial Realization of Escher's Impossible World⁽²⁾ e Computer-aided creation of impossible objects and impossible motions, Sigihara mostra molti degli oggetti che è riuscito a costruire e la matematica su cui si basano. Ovviamente tutto poggia sulla geometria e la geometria proiettiva.
Supponiamo di avere un dato sistema di assi cartesiani. All'interno dello spazio definito da questo sistema poniamo un poliedro e proiettiamo questo poliedro sul piano di equazione π: z=1 in questo modo: ciascun punto corrispondente del poliedro (3d) coinciderà con un punto appartenente al piano (2d) dall'intersezione del piano stesso e delle rette passanti per l'origine degli assi e per ciascun vertice.
Ovviamente è più facile a vedersi che a raccontarsi: