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– Allora, dicevamo che … non mi ricordo più…
– E certo! Dopo così tanto tempo! Avevamo concluso con la mia domanda. "Non è un po’ strana questa norma? Conta solo il fatto che il primo p fissato compaia o meno nella fattorizzazione del numero, e più l’esponente con cui p compare è grande più la norma è piccola. E comunque, abbiamo parlato di norma ma non mi hai ancora mostrato un esempio di numero p-adico."
– Ah, ecco. Allora, partiamo dagli interi p-adici e diciamo che una volta scelto un certo numero primo p preciso, un intero p-adico α è definito da una sequenza illimitata di interi x_k per k > 0
α = {x_k}^∞_k=1 = {x₁, x₂, x₃, . . . },
Tali che x_k+1 ≡ x_k (mod p^k) per ogni k > 0,    (1)
E due sequenze {x_k} e {y_k} determinano lo stesso intero p-adico se e solo se
x_k ≡ y_k (mod p^k) per ogni k > 0    (2)
L’insieme degli interi p-adici viene indicato con Z_p.
– Aspetta. Il segno ≡ è la congruenza, giusto?

– Sì. È definita come a ≡ b (mod n) se a − b è divisibile per n.

– Quindi dalla (2) deduco che esistono infinite sequenze che rappresentano lo stesso intero p-adico, giusto?

– Sì, giusto. Però possiamo pure introdurre una definizione che, sfruttando le relazioni di equivalenza, renda la definizione univoca. Cioè, definiamo l'intero p-adico ridotto come la rappresentazione che soddisfi la
0 ≤ x_k < p^k for all k ≥ 1   (3)

– Scusa, solo con delle definizioni del genere però non riesco ad afferare il senso di un numero p-adico. Mi servirebbero degli esempi.

– Certo. Gli esempi più semplici sono gli interi rappresentati in Z_p. Possiamo decidere di rappresentare gli interi Z attraverso delle sequenze costanti. Cioè, dato z ∈ Z, rappresentiamo z in Z_p come {z, z, z, . . . }.

– Ah, immergiamo Z in Z_p attraverso un'applicazione iniettiva!

– Giusto! Z può essere visto come un sottoinsieme di Z_p e possiamo chiamare interi razionali gli elementi di Z per distinguerli dagli interi p-adici.

– Quindi se prendo ad esempio p = 3 posso scrivere 40 in Z₃ come {40, 40, 40, 40, 40, . . . }... E... applicando la (3) avrei 40 = {1, 4, 13, 40, 40, . . . }?

– Corretto! Hai trovato un esempio da sola!

– Ma se scelgo un numero p che non è primo che succede? Ad esempio con p = 10 avremmo la base decimale a cui siamo più abituati.

– Sì, si può fare. Però perdiamo delle proprietà. Ad esmpio avremmo degli inversi moltiplicativi di zero. E questo è un risultato indesiderato. Ma... Purtroppo adesso devo andare.

– Va bene. Diciamo che questi numeri p-adici hanno cominciato anche a stancarmi un po'.

– Dai, chiudiamo qui e ti lascio dei riferimenti a del materiale che si può trovare in rete.

Introduction to number theory - 5. p-adic Numbers
mathworld.wolfram p-adic Number
en.wikipedia.org P-adic_number
quora: What are p-adic integers, how do they work and what problems can we solve using them
en.wikipedia.org P-adic_analysis

Nella precedente puntata abbiamo abbiamo visto che la matematica hindu sarebbe diventata significativa solo dopo essere stata influenzata dai risultati greci producendo quello che viene indicato come il secondo periodo della matematica hindu, che va dal III al XIII sec. d.C. I matematici più importanti di questo secondo periodo della matematica hindu sono Aryabhata, Brahmagupta, Mahāvīra  e Bhāskara. E la maggior parte della loro opera era motivata dall'astronomia e dall'astrologia.
Abbiamo anche visto che intorno al III sec. a.C. cominciano a comparire i simboli numerici brahmanici e che, presumibilmente, intorno al IV sec. d.C. nasce l'uso dello zero posizionale. E tale uso determinò lo sviluppo del sistema numerico posizionale hindu in base 10,
da cui deriva il nostro moderno sistema di numerazione. Ma è solo intorno al 600 che la notazione posizionale in base 10, che era stata usata sporadicamente per circa un secolo, entrò nell'uso comune.¹
 E, in questo contesto, a differenza di quanto era stato fatto fino a quel momento, lo zero cominciò a essere trattato come un qualsiasi altro numero. E, nel sec. IX d.C., Mahāvīra arrivò a definire le quattro operazioni per lo zero. Seppure, nel caso della divisione, egli disse che un numero diviso per 0 rimane inalterato. Ma vedremo che, più tardi, un altro matematico hindu cambierà quella definizione.
Presto gli Hindu cominciarono anche a usare una notazione simile a quella attuale per rappresentare le frazioni. Usavano disporre numeratore e denominatore uno sopra all'altro ma senza la nostra linea. Ed essi furono anche i primi ad introdurre i numeri negativi. Li introdussero per rappresentare i debiti.
Il primo uso noto lo si trova in Brahmagupta (598 d.C. – 668 d.C.) e risale al 628 circa. Nello stesso contesto Brahmagupta enuncia anche le regole per le quattro operazioni con i numeri negativi. Ma non vengono mai date definizioni, assiomi o teoremi. Brahmagupta si pone anche il problema della radice quadrata di un numero negativo. E lo risolve dicendo semplicemente che la radice quadrata non esiste, visto che un numero negativo non può essere un quadrato.

La nuova definizione di un numero diviso per 0 arrivò invece solo nel XII sec d.C. con Bhāskara II (1114 – 1185). Egli affermò infatti che una frazione con denominatore 0 rimane inalterata quale che sia la quantità che le si aggiunga o sottragga. E chiamò tale frazione una quantità infinita.
Ma Bhāskara non fece solo questo. Come ci dice wikipedia, Bhāskara "rappresenta il culmine della conoscenza matematica e astronomica del XII secolo in ambito mondiale." E il lavoro di Bhāskara relativo al calcolo infinitesimale, anticipa Newton e Leibniz di oltre mezzo millennio. Infatti si può affermare, con una discreta certezza, che Bhāskara fu propabilmente il primo a concepire l'idea del calcolo infinitesimale. Inoltre Bhāskara, seppure dopo un paio di secoli ripetto agli Islamici, anche se indipendentememnte da loro, cominciò anche a usare le operazioni con i numeri irrazionali. Ma, così come avevano gia fatto gli Islamici, senza fornire delle basi teoriche. Si abituò semplicemente a trattare le grandezze irrazionali in modo simile a come trattava i numeri interi.
E Bhāskara fu anche bravo a disegnarla la matematica.
Infatti, come ci ricorda anche .mau. in "Quando una “dimostrazione” è una dimostrazione?" e in "Il teorema di Pitagora", Bhāskara produsse una sorta di dimostrazione grafica del celeberrimo teorema.

Nella puntata precedente abbiamo parlato dell'ingarbugliata questione della soluzione dell'equazione cubica. Il problema che tanto aveva infruttuosamente impegnato le menti di molti grandi matematici greci, cinesi, indiani e islamici, era stato finalmente risolto da Del Ferro, Tartaglia e Cardano.
A vedere i nomi affiancati qualcuno potrebbe pensare che si trattò di un lavoro di gruppo. Tutt'altro! Quello che fu probabilmente il maggiore contributo dato all'algebra da quando i babilonesi avevano capito come risolvere le equazioni di secondo grado quattromila anni prima, fu il risultato di inganni e battaglie tra i tre matematici. E l'ingiustizia si propaga fino a oggi attraverso la denominazione delle risultanti formule di risoluzione. Chiamate ancora formule di Cardano ignorando così i contributi di Del Ferro e Tartaglia.

Due puntate fa si era parlato invece di Luca Pacioli, dei matematici tedeschi, dei nuovi simboli (+, - e √) e delle nuove notazioni.
Volendo estendere il tema dell'introduzione di nuovi simboli possiamo citare Robert Recorde (1510 – 1558) che fu l'unico matematico degno di nota nell'Inghilterra del XVI secolo. Recorde studiò e insegnò matematica a Oxford e a Cambridge, ottenne il titolo di dottore in medicina a Cambridge e arrivò ad essere il medico personale di Edoardo VI e Maria Stuarda.

Un anno prima della sua morte, nel 1557, Recorde pubblicò The Whetstone of Witte. In questo libro compare per la prima volta il simbolo = per l'uguaglianza. Passò tuttavia più di un secolo prima che tale simbolo si affermasse sugli simboli altri preesistenti.

A questo punto possiamo tornare in Italia e citare un altro importante algebrista: Raffaele Bombelli (Bologna, 1526 – Roma, 1573). Essendo nato venticinque anni dopo Cardano, Bombelli si formò anche sui lavori del grande algebrista che lo aveva preceduto e probabilmente seguì pure la questione della contesa soluzione dell'equazione cubica.
Sebbene già introdotti nelle formule risolutive di Del Ferro-Tartaglia-Cardano, i numeri complessi non possedevano ancora una vera dignità di numeri. Fu proprio Bombelli a imprimere un forte impulso in quella direzione attraverso la definizione di regole per l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione dei numeri complessi.
Bombelli ebbe anche un'importante intuizione che anticipò il ruolo importante che i complessi coniugati avrebbero ricoperto in futuro¹.
Un altro contributo del matematico bolognese fu quello relativo alla notazione algebrica usata nella sua grande opera: L'Algebra. Notazione che impresse una forte spinta all'algebra sincopata del tempo nel suo cammino verso l'algebra simbolica moderna.
Per mostrare la notazione di Bombelli ho rubato l'immagine di destra al blog Fermat's Last Theorem³. Bombelli però, nel suo lavoro, non usò il simbolo = per l'uguaglianza. Seppure già introdotto da Recorde, infatti, quel simbolo si trovava ancora a distanze troppo grandi dalla penisola.
Due puntate fa avevamo anche visto come Stifel  prese in considerazione una questione che tormentò molti matematici che lo avevano preceduto e che ne tormenterà altri che lo seguiranno. E cioè se gli irrazionali possano essere considerati numeri oppure no. Stifel era combattuto tra l'accettarli come veri numeri e il rifiutarli in quanto la loro rappresentazione avrebbe richiesto un numero infinito di cifre dopo la virgola. Bè, Bombelli apportò un contributo anche qui attraverso un'ipotesi che conoscerà un grande successo. E cioè che ci sia una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e le lunghezze su una retta. Bombelli definì quindi le quattro operazioni su tali lunghezze e usò quelle per definire le quattro operazioni sui numeri reali.² In tal modo egli fornì una nuova tecnica per risolvere il millenario problema dei numeri irrazionali. Tuttavia, così come i precedenti tentativi di risolvere le difficoltà relative all'inclusione degli irrazionali tra i numeri, anche questo tentativo non risolveva del tutto il problema in quanto rendeva i numeri reali un'entità dipendente dalla geometria.

Nella prossima puntata parleremo dell'introduzione di altri simboli e di Copernico.

Puntate precedenti...

Indice della serie

³ Fermat's Last Theorem (blog), Rafael Bombelli.

Nella puntata precedente abbiamo detto che Ippaso di Metaponto, uno dei più brillanti allievi della scuola di Pitagora, trovò un oggetto non misurabile attraverso un numero; e che con esso l'allievo scardinò la dottrina dei pitagorici sintetizzata dal motto della scuola: Tutto è Numero; e che addirittura, dopo il suo rifiuto di mantenere la segretezza di tale scoperta, egli venne condannato a morte per annegamento.

Nella puntata precedente ho parlato della fine del medioevo e dell'inizio del rinascimento introducendo figure importanti come il cardinale Bessarione e il Regiomontano. Tra le opere del Regiomontano ho parlato del De Triangulis Omnimodus (completata nel 1464 ma stampata nel 1533) che segnò la rinascita della trigonometria e fece assurgere l'Europa occidentale ad una posizione di preminenza in questo campo.

Tuttavia non è lo sviluppo della trigonometria a caratterizzare principalmente la matematica rinascimentale. Il titolo di regina della matematica del tempo spetta sicuramente all'algebra. Questo aspetto diversifica leggermente lo sviluppo rinascimentale della matematica rispetto a quello delle altre scienze ed arti di quel periodo. Se infatti a stimolare il movimento rinascimentale fu per buona parte la riscoperta di opere del mondo greco antico, nel caso specifico della matematica questa riscoperta giocò sì un ruolo importante, ma un ruolo altrettanto importante fu assunto dalla continuazione e dallo sviluppo della tradizione medievale. Tale differenza traspare proprio attraverso il suddetto ruolo dell'algebra. Questa disciplina fu infatti sviluppata soprattutto nel medioevo: prima tra gli arabi e poi tra i cristiani. Lo stesso Regiomontano, ridimensionando l'apoteosi dell'ellenismo, diffusa dagli umanisti del tempo, riconosceva l'importanza dell'algebra medievale araba e latina. 

L'opera più famosa per l'algebra di quel periodo venne pubblicata dal frate Luca Pacioli  (1445, Borgo San Sepolcro – 1514) con il titolo di Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalità, scritta in volgare e pubblicata a Venezia nel 1494. La Summa di Luca Pacioli, pur essendo l'opera più influente per l'algebra del tempo, non è in realtà nulla di più di una sintesi di alcune precedenti opere inedite dell'autore di carattere fondamentalmente compilativo. Non fu quindi tanto l'originalità a rendere celebre la Summa quanto piuttosto la sua diffusione ed il suo carattere sinottico. L'opera non si limita in realtà alla sola algebra, ma è una raccolta delle conoscenze dell'epoca relative a quattro campi diversi della matematica: algebra, aritmetica, geometria e metodi aritmetici usati nel commercio. Potrebbe apparire un po' inconsueto che quest'ultimo campo della matematica venga affiancato agli altri tre. Bisogna tuttavia considerare che Luca Pacioli insegnò la matematica presso alcune famiglie di ricchi mercanti veneziani.
La sezione geometrica della Summa è piuttosto elementare mentre quella aritmetica espone principalmente tecniche per il calcolo di moltiplicazioni e radici quadrate. La più corposa parte algebrica riporta i procedimenti per la risoluzione delle equazioni di primo e secondo grado - per quanto riguarda le equazioni di terzo grado Pacioli, così come Omar Khayyám, pensava che non fosse possibile risolverle con metodi algebrici. In questa sezione l'autore fa ampio uso di forme abbreviate tipiche dell'algebra sincopata. La quarta ed ultima parte include informazioni relative alla registrazione a partita doppia e alle monete e misure dei diversi regni, ducati e stati italiani. Questa quarta sezione conobbe un grande successo ed è grazie ad essa che Luca Pacioli è tuttora generalmente considerato il padre della registrazione a partita doppia.

È piuttosto noto che il paese che più contribuì allo sviluppo del Rinascimento fu l'Italia. Anche altre regioni culturali europee fornirono tuttavia consistenti contributi a questo grande movimento artistico e culturale. Nell'ambito matematico l'apporto dell'area culturale tedesca fu, ad esempio, tutt'altro che trascurabile. Soprattutto sotto l'aspetto dell'introduzione di nuove notazioni.
Un matematico tedesco che si guadagnò un posto nella storia della matematica essenzialmente per essere stato il primo ad usare i simboli + e - per l'addizione e la sottrazione fu Johannes Widmann (Cheb 1460 Lipsia 1489). 
Widmann fu docente presso l'università di Lipsia e nell'anno della sua morte a soli 38 anni pubblicò il suo trattato di Mercantile Arithmetic intitolato Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft che, come potete constatare nell'immagine di sinistra, fa uso dei simboli che divennero in seguito lo standard universale soppiantando la notazione italiana p ed m.

Un altro matematico di area tedesca che va citato solamente per il fatto di aver introdotto nuove notazioni è Christoph Rudolff (Jawor, 1499 – Vienna, 1545). Il simbolo da lui introdotto è quello attualmente in uso per la radice quadrata: √. In seguito Eulero propose la congettura che questo simbolo sia stato ottenuto attraverso deformazioni della lettera "r" (dall'iniziale della parola latina radix). Rudolff introdusse inoltre la notazione e la definizione di x⁰ = 1. Quindi ora sapete con chi prendervela quando vi chiedete: ma perché x⁰ = 1?
Rudolff detiene anche il primato di essere stato il primo ad usare il tedesco  per scrivere un libro di algebra: il suo Die Coss (versione integrale).

Il terzo tra i matematici tedeschi che citerò qui è Michael Stifel (Esslingen 1487 – Jena 1567). Stifel è l'autore della più importante fra le algebre tedesche del XVI secolo: l'Arithmetica integra (1544); in cui, attraverso l'introduzione dei coefficienti negativi, Stifel unificava i vari casi di equazioni di secondo grado.
Nell'Arithmetica integra Stifel prende anche in considerazione una questione che tormentò molti matematici che lo avevano preceduto e che ne tormenterà altri che lo seguiranno. E cioè se gli irrazionali possano  essere considerati numeri oppure no. Da una parte Stifel propenderebbe ad accettarli come veri numeri, in quanto, nella geometria, gli irrazionali riescono a risolvere problemi irrisolubili con i soli numeri razionali. D'altra parte, il fatto che la rappresentazione in notazione decimale degli irrazionali richiederebbe un numero infinito di cifre dopo la virgola condusse Stifel alla conclusione che gli irrazionali non possono  essere considerati come dei veri numeri in quanto "l'infinito stesso non più essere considerato come un numero". In realtà poi le cose cambieranno: circa tre secoli dopo con Dedekind.
Anche Stifel detiene inoltre un primato. E cioè quello di essere stato il primo ad usare la giustapposizione senza simboli tra i termini per la moltiplicazione. Cioè l'uso di X₁X₂X₃ per indicare il prodotto tra X₁, X₂ e X₃.

Concludo questa puntata con un ultimo primato che si ricollega a vicende della nostra attualità (non più molto attuale oramai). E cioè il "greve uso dell'acronimo S.P.Q.R. Sembra che, con grande dispiacere di una parte dei nostri concittadini, il primato spetti al nostro frate Luca Pacioli.

Nella prossima puntata parleremo di altri matematici del rinascimento italiano come Del Ferro, Tartaglia e Cardano e del loro ruolo nella scoperta della formula risolutiva per le equazioni di 3° e 4° grado.

Puntate precedenti...

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Nella puntata precedente abbiamo visto che il lavoro di al-Khwārizmī sulle equazioni algebriche portò alla nascita di un'opera che sarebbe divenuta un punto di riferimento per lo sviluppo dell'algebra moderna.

Stando a quello che J. J. O'Conner e E. F. Robertson scrivono nel MacTutor History of Mathematics archive, forse uno dei progressi più significativi dei matematici islamici fu proprio l'introduzione e lo sviluppo di una loro metodologia algebrica. Questo nuovo approccio algebrico rappresentava un nuovo rivoluzionario spostamento dalla concezione greco-platonica della Matematica, che era essenzialmente geometrica. La nuova metodologia algebrica reincorporava, almeno da un punto di vista pratico, l'idea pitagorica (Tutto è Numero) ed unificava numeri razionali, numeri irrazionali, e grandezze geometriche trattando tutte queste entità in gioco come "oggetti algebrici". Si potrebbe quindi a posteriori attribuire ai matematici islamici (un po' arbitrariamente) il motto ottenuto da una parafrasi di quello pitagorico: Tutto è Algebra.

I matematici islamici furono quindi i primi a trattare nella pratica i numeri irrazionali come oggetti algebrici. Anche se una vera giustificazione teorica rigorosa di tale prassi la troverà Dedekind diversi secoli dopo.
Ma come riuscirono a mettere in pratica ciò che non era riuscito ai pitagorici ? Beh, da un punto di vista puramente tecnico-sintattico non fecero nulla di eccezionale: accettarono semplicemente l'idea che anche le grandezze irrazionali, come la misura della diagonale del quadrato, potessero essere trattate alla stregua degli altri Numeri. Estesero quindi le operazioni aritmetiche alle grandezze irrazionali e si accorsero che le cose funzionavano. Visto a posteriori non sembra nulla di eccezionale; ma nella realtà tale idea impresse un fortissimo impulso al progresso della Matematica: il solito Uovo di Colombo.
A questo punto non posso esimermi dal compiere un enorme balzo in avanti nel tempo e citare John von Neumann, matematico del '900, tanto grande quanto moralmente discutibile:

"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." (*)
"Ragazzo, nella Matematica le cose non si capiscono. Semplicemente ci si abitua ad esse."

Frase pronunciata in risposta ad un suo studente che chiedeva spiegazioni.

Quindi i matematici islamici semplicemente si "abituarono" a considerare e a trattare le grandezze irrazionali allo stesso modo dei numeri razionali.
La nuova metodologia algebrica risolveva quindi quella che era stata la causa del crollo del modello pitagorico. Voi mi direte, ma anche l'approccio platonico-euclideo risolveva la lacuna pitagorica. Sì, ma quello implicava un'interpretazione dei concetti numerici in un modello puramente geometrico. Il modello degli Islamici era invece puramente numerico.

Oltre ad al-Khwārizmī altri due nomi che vanno necessariamente citati per i loro contributi al nuovo approccio algebrico sono quelli di Abū Kāmil (850 d.C. – 930) e al-Karkhi (953 d.C. Karaj – 1029)

In particolare di Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850 – 930), matematico egiziano, si può dire che sia stato il primo ad accettare i numeri irrazionali (spesso nella forma di radice quadrata, cubica o quarta) come soluzioni di equazioni quadratiche e come coefficienti di equazioni.
Il matematico iracheno Al-Hashimi, invece, nel X sec. fornì dimostrazioni di carattere algebrico per i numeri irrazionali e usò le quattro operazioni su quei numeri.

Un altro matematico islamico illustre, il cui contributo allo sviluppo della Matematica è forse paragonabile a quello di al-Khwārizmī è Omar Khayyám.
Ma questo lo vedremo nella prossima puntata.

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Visto che ad almeno uno dei miei lettori piace questa serie e che io mi diverto a scriverla, proseguo imperterrito nonostante gli sbadigli della maggioranza; ma non si può accontentare sempre la maggioranza ;-)

Dicevamo quindi che il castello crollò, ma qualcosa, anzi direi moltissimo, rimase.
Si può tranquillamente sostenere che chi utilizzava la matematica in modo utilitaristico non si accorse neppure lontanamente del crollo. Però dal punto di vista teorico/filosofico/mistico l'inghippo provocava un ineludibile cortocircuito: si doveva necessariamente abbandonare almeno il relativo modello di cosmo.
Era inoltre addirittura il motto dei pitagorici a dover essere abbandonato. Nessuno avrebbe più potuto sostenere che Tutto è numero (razionale). Anzi, a voler essere rigorosi il motto sarebbe dovuto cambiare in: Quasi nulla è numero (razionale). Infatti la quantità di numeri irrazionali è innumerabilmente più grande rispetto a quella dei numeri razionali. (Per chi volesse approfondire...)

L'idea di fondo di Pitagora comunque, sfrondata dagli elementi mistici, che si potesse interpretare la natura utilizzando i numeri come strumento, non era del tutto da buttare. Bisognava solo correggere un po' il tiro: o spostarsi verso un'altra branca della Matematica, come si fece poco più di un secolo dopo; oppure estendere il concetto di numero includendo questi oggetti "irrazionali", come si fece più di 1500 anni dopo.

Nel frattempo però non si poteva basare il modello dell'universo su qualcosa che non riusciva a spiegare tutti gli enti esistenti.
Per questo motivo, circa centocinquat'anni dopo Pitagora (Samo 575 a.C. – Metaponto, c. 495 a.C.), Platone (Atene, 427 a.C. – Atene, 347 a.C.) operò in un qualche modo una sostituzione: fece assurgere la Geometria a qualcosa di simile a quello che rappresentavano i Numeri e l'Aritmetica per i pitagorici. In questo modello platonico erano le Forme Geometriche che, sostituendo il ruolo dei numeri, furono assunte come enti reali e prescelte alla spiegazione dei fenomeni dell'Universo.

Così come Pitagora può essere un po' considerato il padre di ciò che oggi viene chiamato Teoria dei Numeri, Platone può essere un po' considerato il padre della Geometria.

Ciò che rende la Geometria di Platone diversa da quella dei suoi predecessori è un fatto simile quello che rendeva l'Aritmetica di Pitagora diversa da quella dei suoi predecessori: Platone fu tra i primi a speculare sulla natura delle entità geometriche.
Acutissima fu l'osservazione (oggi a posteriori potrebbe risultare ovvia) che le forme geometriche, oggetto dei nostri studi e dei nostri teoremi, in natura semplicemente non esistono.
Un cerchio o un quadrato perfetto, che pur ogni individuo conosce calcolandone area e perimetro, sono assenti dalla nostra realtà fisica.
Nella realtà esistono solo delle approssimazioni delle suddette forme teoriche. L'intelletto vedrebbe quindi, al di là della realtà sensibile, un'idea di cerchio, quadrato e altre forme geometriche.

Nel modello cosmico di Pitagora i cinque solidi platonici (gli unici solidi regolari esistenti) da lui stesso scoperti occupavano un ruolo fondante.
In particolare Pitagora in una sorta di prototavola di Mendeleev associò ad ognuno di essi un elemento:

al tetraedro il fuoco,

al cubo la terra,

all'ottaedro l'aria,

all'icosaedro l'acqua,

mentre ritenne che il dodecaedro fosse la forma dell'universo.

I solidi platonici furono poi studiati con maggiore razionalità da Euclide e da altri geometri greco-alessandrini che saranno uno dei soggeti della prossima puntata....

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Dicevamo quindi, come ne uscì la Matematca da questa scoperta che a partire dai numeri si può definire qualcosa di non classificabile come numero secondo la definizione esistente allora?

Semplice! Trovando una definizione che potesse includere il nuovo ente tra i numeri. A questo passo però (almeno da un punto di vista formale perché informalmente lo si cominciò a fare molto prima) si arrivò solo più di 1500 anni dopo con Dedekind (forse lo vedremo tra qualche puntata...).

Tornando invece ai tempi della scuola calabrese (la sede era a Crotone) dei pitagorici e alla storia del delatore, secondo alcuni questi sarebbe stato Ippaso di Metaponto; a cui sarebbe anche attribuita la scoperta stessa dell'irrazionale;


e che una dubbia leggenda vuole addirittura condannato a morte per cotanta disvelazione e diffusione.

Ma non è finita qui!
Non solo il diabulus in matematica si celava dietro il teorema del Maestro, ma addirittura la bestia fu scoperta albergare anche anche alll'interno del simbolo dei pitagorici: il pentagramma pitagorico. Dove nuovamente il mostro dimorava nel rapporto tra diagonale e lato del pentagono descritto. Una vera iattura!

(Stavolta il rapporto coincide con l'interessantissima Sezione aurea, che si trova celata nei posti più impensati: dalla Pittura all'Architettura, fino alla Musica e alla Letteratura.)
Nonostante le inattese scoperte, anzi forse in parte proprio grazie ad esse, il contributo dei pitagorici al sapere umano e alla scienza è enorme. Furono i primi ad accorgersi che alcune leggi della natura erano governate da regole esprimibili matematicamente con dei numeri.
Ora è un fatto ovvio, ma la sorpresa dovette essere molto grande per i primi uomini che si accorsero dell'inattesa coincidenza; ed è anche comprensibile che tale scoperta li potesse condurre a dedurne un'interpretazione che dava un valore mistico ai numeri.
In particolare si racconta che tale scoperta avvenne investigando le leggi che regolavano l'emissione di suoni da parte di corde o corpi posti in vibrazione.

Quindi nei pitagorici si possono in qualche modo scorgere i progenitori sia della Matematica che della Fisica.

Il contributo più importante alla Matematica da parte dei pitagorici non è comunque né il famoso teorema (che pare fosse già noto ed utilizzato da Cinesi, Babilonesi ed Egizi qualche millennio prima) e né la scoperta dell'irrazionalità di √2.

Il contributo più importante alla Matematica da parte dei pitagorici è stato il fatto che essi non si accontentarono di utilizzare o enunciare i suddetti risultati, come era stato fatto fino ad allora, ma vollero invece "dimostrarli". Introdussero quindi per la prima volta il concetto di dimostrazione matematica; e cioè una sequenza di passaggi logici, a partire da pochi fatti noti, che portino ad una conclusione che valga in generale.
In particolare poi nel caso dell'irrazionalità di √2 introdussero la dimostrazione per assurdo, usata moltissimo nei secoli e millenni a venire fino a tutt'oggi.

Nella prossima puntata parleremo di Platone e le forme geometriche.

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Che tipo di problemi creò quindi la scoperta che la diagonale del quadrato non può essere misurata in termini di lato del quadrato?

Nella puntata precedente, Crazy time faceva riferimento al teorema di Pitagora rinominandolo "il mistero di Pitagora".
Effettivamente, nella ridefinizione di Crazy time c'è del vero. Per ironia della sorte infatti i pitagorici trovarono la loro bestia nera celata proprio nel famoso teorema del Maestro.
Dovettero essere infatti molto sorpresi dal fatto che un caso particolare del teorema conduceva proprio alla grandezza incommensurabile che faceva crollare la loro mistica/teoria secondo la quale tutto è numero (razionale) e tutto è quindi misurabile attraverso il numero.

Il caso particolare più semplice del teorema (ce ne sono un'infinità) che porta alla grandezza incommensurabile è il seguente.
Se consideriamo il triangolo rettangolo di cateto 1 e chiamiamo x la lunghezza incognita dell'ipotenusa, la nota filastrocca del teorema ci dice che l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
Quindi nel nostro caso 1² + 1² = x².

Da cui, sommando 1² + 1² = 2 = x².

Estraendo quindi la radice da ambo le parti:

√2 = x

La lunghezza dell'ipotenusa (che coincide poi con la diagonale del quadrato di lato 1) coincide quindi con il diabulus in matematica, con la bestia nera incommensurabile.

(La scoperta si può anche esprimere in termini un po' più matematici dicendo che √2 non si può esprimere come un rapporto di numeri interi; o ancora che √2 non è un numero razionale. Per chi fosse interessato ad una semplice dimostrazione dell'irrazionalità di √2 la può trovare qui.)

La scoperta creò sicuramente scandalo all'interno della setta. Faceva crollare tutta il loro modello del cosmo. Non avrebbero più potuto asserire la loro teoria/filosofia/religione che sosteneva che il mondo è completamente misurabile e rappresentabile attraverso i numeri e neppure quindi che attraverso la scoperta delle proprietà dei numeri si potessero specularmente scoprire i misteri dell'Universo. All'interno della scuola si decise quindi di mantenere segreta la scoperta.
Purtroppo pare che un delatore (onore al merito) divulgò la dimostrazione e il castello crollò.

È il prezzo che si paga a fondare una mistica su qualcosa di razionale.

Quindi il modello pitagorico crollava, in quanto parve che nell'universo si potevano trovare grandezze non esprimibili attraverso numeri.

Come ne uscì invece la Matematica da questa scoperta che a partire dai numeri si può definire qualcosa di non classificabile come numero secondo la definizione esistente allora?
Lo vedremo nella prossima puntata....

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